vom 5. August 1880. 717 



eine eindeutige Function von x, die keine andern (wesentlichen oder 

 ausserwesentlichen) singulären Stellen als c^ , ... c^ besitzt, und so- 

 mit (nach § 5 der g. Abhdig.) in der Form 



dargestellt werden kann , wo (r^ ( ) eine ganze Function von 



bezeichnet. 



X Cy 



Setzt man nun 



■FxGt^ ; O = ^*' W + (?,. (;^-) 



so ist 



X = l 



Da die Functionen F^^'\x) , G^( J im Gebiete der Verän- 



derlichen x keine von Cy^ verschiedene wesentliche singulare Stelle 

 besitzen, so gilt dies auch von der Function F^{x;Cy^)', für diese 

 aber ist in Folge der Voraussetzung, dass F(x) n wesentliche sin- 

 gulare Stellen besitze, Cy. nothwendig eine solche Stelle. 



Zn bemerken ist, dass nicht zwei der Functionen Fi{x ', cj , ... 

 .„F{x',c^ eine gemeinschaftliche ex? -Stelle haben. 



Der im Vorstehenden mit Hülfe des in (1) mitgetheilten Mit- 

 tag-Leffler'schen Theorems begründete Satz ist in meiner Ab- 

 handlung bloss für den Fall bewiesen worden, wo die Function 

 F(^x) ausserwesentliche singulare Stellen entweder gar nicht oder 

 nur in endlicher Anzahl besitzt. (S. § 5 d. g. Abhdl.) 



Stellt man jede der Functionen F-^{x ] c-^ in der oben (3 , B) 

 angegebenen Gestalt dar, so ergiebt sich ein neuer allgemeiner 

 Ausdruck einer eindeutigen analytischen Function F{x) mit einer 

 endlichen Anzahl wesentlicher singulärer Stellen in der Form einer 

 unendlichen Reihe, deren Glieder sämmtlich rationale Functionen 

 der Veränderlichen x sind. Diese Reihe convergirt gleichmässig 

 für alle Werthe von x, welche einem Bereiche angehören, der we- 

 der im Innern noch an der Grenze eine der singulären Stellen 

 der Function F{x) enthält. 



