720 Gesammtsitzung 



ich sagen, die Reihe convergire gleichmässig in der Nähe der 

 Stelle a. Die Grösse ^ hat dann eine obere Grenze; ist diese i?, 

 so möge — in Beziehung auf die betrachtete Reihe — die Ge- 

 sammtheit derjenigen Werthe von x, für welche 



\x — a\ < R 



ist, die Umgebung von a, und E deren Halbmesser genannt ^ver- 

 den. Nimmt man in dieser Umgebung eine Stelle beliebig an, so 

 ist klar, dass auch in der Nähe der letztern die Reihe gleichmäs- 

 sig convergirt. Daraus ergiebt sich, dass die Gesammtheit der 

 Stellen, in deren Nähe die Reihe gleichmässig convergirt, in der 

 Ebene der Veränderlichen x durch eine einfache i) Fläche reprä- 

 sentirt wird, welche aber aus mehreren, von einander getrennten 

 Stücken bestehen kann. 



Angenommen nämlich, es gebe überhaupt Stellen der in Rede 

 stehenden Art, deren Gesammtheit mit A bezeichnet werde, so 

 denke man sich eine von ihnen willkürlich angenommen, in der 

 Umgebung derselben eine beliebige zweite, in der Umgebung die- 



fiir jeden Wer th von n, der ^ m, und für jedes dem Bereiche B angehörige 

 Werthsystem der Veränderhchen kleiner als ^ ist. Soll die Reihe in dem- 

 selben Bereiche zugleich unbedingt convergent sein, d. h. bei jeder Anord- 

 nung ihrer Glieder denselben Werth haben, so muss es, wie man auch ^ 

 annehmen möge, stets möglich sein, aus der Reihe eine endliche Anzahl von 

 Gliedern so auszusondern, dass die Summe von beliebig vielen der übrig- 

 bleibenden für jedes der betrachteten Werthsysteme der Veränderlichen klei- 

 ner als ^ ist. Diese Bedingung ist sicher erfüllt, wenn es eine Reihe be- 

 stimmter positiver Grössen 



9o ^ 9i , 92 ^ '" 

 giebt, für die sich feststellen lässt, dass an jeder Stelle des Bereichs B 



\fA^9u, (. = 0,...oo) 



und die Summe 



f=0 



einen endlichen Werth hat. — Aus der gegebenen Definition der gleichmäs- 

 sigen Convergenz folgt u. A. unmittelbar, dass, wenn die betrachtete Reihe 

 in mehreren Theilen ihres Convergenzbereichs gleichmässig convergirt, das- 

 selbe auch für den aus diesen Theilen zusammengesetzten Bereich gilt. 



^) d. h. eine Fläche, die durch keinen Punkt mehr als einmal hin- 

 durchgeht. 



