722 Gesammtsitzung 



teren, D = | a' — a \ der Abstand der beiden Stellen, so folgt aus 

 den gegebenen Definitionen unmittelbar, dass der Halbmesser (R') 

 der Umgebung von a' nicht kleiner als B — D sein kann. Ist 

 D<:^-E, so ist also i^'>-Ji?, uud es liegt a in der Umgebung 

 von a'-y mithin muss R^R' — D sein, R' also zwischen 



R — D und R~{- D 



liegen. Wenn daher die Stelle a in Ä ihre Lage stetig ändert, so 

 ändert sich auch der zugehörige Werth von R stetig. Daraus 

 folgt weiter, dass die untere Grenze (Rq) derjenigen Werthe von 

 i?, die diese Grösse im Bereiche B annehmen kann, mindestens an 

 einer im Innern oder an der Grenze dieses Bereichs liegenden 

 Stelle wirklich erreicht wird, und dass daher Rq nicht gleich Null 

 ist. Deshalb kann B in eine endliche Anzahl von Theilen derge- 

 stalt zerlegt werden, dass in jedem einzelnen Theile der grösste 

 Abstand zweier Stellen kleiner als Rq ist. Jeder solcher Theil 

 liegt dann ganz in der Umgebung einer in ihm willkürlich ange- 

 nommenen Steile; für die demselben angehörigen Werthe von x 

 convergirt also die betrachtete Reihe gleichmässig, woraus nach 

 dem oben Bemerkten die Richtigkeit des ausgesprochenen Satzes 

 sich unmittelbar ergiebt. 



Eine Reihe der in Rede stehenden Art kann so beschaffen 

 sein, dass sie in der Nähe jeder im Innern ihres Convergenz- 

 bereichs liegenden Stelle gleichmässig convergirt. Im Folgenden 

 werde ich ausschliesslich Reihen von dieser Beschaffenheit unter- 

 suchen. Wenn man nämlich von der Reihe 



oo 



nur weiss, dass es im Gebiete der Veränderlichen x einen zusam- 

 menhangenden Bereich giebt, in welchem die Reihe convergirt, so 

 lässt sich daraus allein nicht einmal folgern, dass ihr Werth in 

 demselben Bereich eine stetige Function von cc sei. Macht man 

 aber die angegebene Voraussetzung, so lässt sich zeigen, dass 

 die Reihe in jedem der im Vorstehenden definirten Stücke 

 (^1 , ...) ihres Convergenzbereichs im Allgemeinen einen 

 eindeutigen Zweig einer monogenen analytischen Func- 

 tion von ^, und in besondern Fällen eine solche Func- 

 tion vollständig darstellt. 



