728 Gesammtsitzung 



Möglicherweise erstreckt sich, wenn die Stelle a der Begren- 

 zung von A' hinlänglich nahe angenommen wird, der Convergenz- 

 bezirk der Reihe ^{x — d) über A' hinaus. In diesem Falle (der 

 sogar der gewöhnliche ist) existiren unendlich viele, aus ^oC-^ — öTq) 

 durch das beschriebene Verfahren ableitbare Potenzreihen ^'{x — a'), 

 deren Convergenzbezirke ganz oder theilweise ausserhalb A! liegen, 

 und aus diesen können dann möglicherweise durch dasselbe Ver- 

 fahren wieder andere sich ergeben, welche in ihrem Convergenz- 

 bezirk auch Stellen von A' enthalten, aber an diesen andere Wer- 

 the wie F{x) haben. Alle diese Reihen stellen Fortsetzungen der 

 durch die gegebene Reihe F{x') zunächst für die dem Bezirk A^ 

 angehörigen Werthe von x deiinirten Function dar; sie sind, nach 

 der in meinen Vorlesungen über die Anfangsgründe der allgemei- 

 nen Functionenlehre eingeführten Terminologie, sämmtlich Elemente 

 einer monogenen analytischen Function, die eindeutig oder mehr- 

 deutig sein kann, aber als vollständig definirt zu betrachten ist, 

 sobald irgend eines ihrer Elemente gegeben ist. 



Wenn der Convergenzbereich der Reihe '^(x — a), wie man 

 auch a annehmen möge, stets ganz in A' enthalten ist, so kann 

 die durch den Ausdruck F{x) für den Bereich A: definirte Func- 

 tion über die Grenzen dieses Bereichs nicht fortgesetzt werden. 

 Es stellt also in diesem Falle — der wirklich vorkommt, wie wei- 

 ter unten wird gezeigt werden — die Reihe, wenn die Veränderliche 

 X auf den Bereich A beschränkt wird, eine eindeutige monogene 

 Function von x vollständig dar. 



Hiernach lässt sich das im Vorstehenden Auseinandergesetzte 

 kurz so, wie am Schlüsse von § 1 geschehen ist, zusammenfassen. 



Hieran knüpft sich nun eine für die Functionenlehre wichtige 

 Frage. 



Angenommen, der Convergenzbereich der betrachteten Reihe 

 bestehe aus mehreren Stücken (^1,^3,...), so ist es möglich, 

 dass sie in denselben Zweige einer und derselben monogenen Func- 

 tion darstellt. Es fragt sich nun, ob sich dies in allen Fällen so 

 verhält. Muss diese Frage verneint werden, wie dies wirklich 

 der Fall ist, so ist damit bewiesen, dass der Begriff einer 

 monogenen Function einer complexen Veränderlichen 

 mit dem Begriff einer durch (arithmetische) Grössen- 

 operationen ausdrückbaren Abhängigkeit sich nicht voll- 



