vom 12. August 1880. 729 



ständig deckt.^) Daraus aber folgt dann, dass mehrere der 

 wichtigsten Sätze der neuem Functionenlehre nicht ohne Weiteres 

 auf Ausdrücke, welche im Sinne der altern Analysten (Euler, 

 Lagrange u. A.) Functionen einer complexen Veränderlichen 

 sind, dürfen angewandt werden. 2) 



Ich habe bereits vor Jahren gefunden — und in meinen Vor- 

 lesungen mitgetheilt — dass die oben angeführte Reihe 



-(^■) = |(,^,-.) 



deren Convergenzbereich aus zwei Stücken besteht, zwei verschie- 

 den monogene Functionen, und zwar eine jede vollständig dar- 

 stellt. 



Ist nämlich .^o irgend ein Werth von x, der den absoluten 

 Betrag 1 hat, so lässt sich — mit Hülfe von Sätzen, welche die 

 Theorie der linearen Transformation der elliptischen 3- Functionen 

 liefert — zeigen, dass sich sowohl unter denjenigen Werthen von 

 ju, für die 1^1 < 1, als auch unter denen, für die | .'C | > 1 , in 

 jeder noch so kleinen Umgebung von Xq solche finden, für die der 



^) Das Gegentheil ist von Riemann ausgesprochen worden (Grund- 

 lagen für die allgemeine Theorie der Functionen einer complexen Grösse, 

 §19, am Schluss), wobei ich bemerke, dass eine Function eines complexen 

 Arguments, wie sie Riemann definirt, stets auch eine monogene Function ist. 



2) Wenn z. B. zwei Ausdrücke 



der hier betrachteten Art gegeben sind, und es lässt sich zeigen, dass es in 

 der Nähe einer bestimmten , im Innern des Convergenzbereichs sowohl des 

 einen als des andern liegenden Stelle unendlich viele Werthe von x giebt, 

 für welche die Ausdrücke gleiche Werthe haben, so ist damit festgestellt, 

 dass innerhalb eines bestimmten zusammenhangenden Bereichs der Veränder- 

 lichen X die Gleichung 



00 »0 _ 



•j — Q v—O 



besteht: es lässt sich aber nicht behaupten, dass dieselbe an allen Stellen 

 des gemeinschaftlichen Convergenzbereichs der beiden Reihen gelte, wofern 

 nicht der Nachweis geführt werden kann, dass beide Ausdrücke in dem ge- 

 nannten Bereich monogene Functionen sind. 



