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absolute Betrag von F(x) jede beliebig angenommene Grösse über- 

 trifft. Daraus folgt sofort, dass die Reihe in jedem der beiden 

 Stücke ihres Convergenzbereichs eine Function darstellt, die über 

 die Begrenzung des Stückes hinaus nicht fortgesetzt werden kann. 



Es blieb indessen, obwohl dies eine Beispiel zur Erledigung 

 der in Rede stehenden Frage ausreichte, noch ein Bedenken übrig. 



Die beiden durch die angeführte Reihe ausgedrückten Func- 

 tionen stehen in einer sehr einfachen Beziehung zu einander, indem 



F(x-') = F(.t) 



ist. Es war daher der Gedanke nicht abzuweisen, ob nicht über- 

 haupt in dem Falle, wo ein arithmetischer Ausdruck F(x) in ver- 

 schiedenen Theilen seines Geltungsbereichs verschiedene monogene 

 Functionen der complexen Veränderlichen x darstellt, unter diesen 

 ein nothwendiger Zusammenhang bestehe, der bewirke, dass durch 

 die Eigenschaften der einen auch die Eigenschaften der andern 

 bestimmt seien. Wäre dies der Fall, so würde daraus folgen, dass 

 der Begriff der monogenen Function erweitert werden müsste. 



Um jeden Zweifel über diesen Punkt zu beseitigen, habe ich 

 mir die Aufgabe gestellt, einen Ausdruck 



00 



Fix) = XfM 



von der hier angenommenen Beschaffenheit, der den folgenden Be- 

 dingungen genüge, zu bilden: Der Convergenzbereich der Reihe 

 soll aus n Stücken (^i , ^3 , ... Jl^), wie sie oben definirt worden 

 sind, bestehen, und es soll F(x) in Ä^ gleich Fi(x), in A2 gleich 



FiCx), in Ä,, gleich F.X^v) sein, wo F,(x) , F.^ix) , ... F^(x) 



willkürlich anzunehmende, für das ganze Gebiet der Verän- 

 derlichen X, mit Ausnahme von einzelnen Stellen, deffnirte eindeu- 

 tige und monogene Functionen bedeuten. 



Zur Lösung dieser Aufgabe stelle ich zunächst einen Aus- 

 druck von der angegebenen Form her, welcher in der Nähe jeder 

 Stelle, wo der reelle Theil von x nicht gleich Null ist, gleichmäs- 

 sig convergirt und den Werth 



+ 1 oder — 1 



hat, jenachdem der reelle Theil von x positiv oder negativ ist. 

 Formeln, die in der Theorie der elliptischen Functionen vorkom- 



