vom 12. August 1880. 737 



Es möge noch bemerkt werden, dass man in der Reihe 

 \I/(l,l,^z), weil dieselbe unbedingt convergent ist, je zwei Glie- 

 der, in denen v denselben, v' aber entgegengesetzte Werthe hat, in 

 eins zusammenziehen kann, wodurch man, wenn unter n eine ganze 

 positive Zahl verstanden wird, 



erhält. Die Glieder der so umgeformten Reihe sind rationale Func- 

 tionen von X, welche rationale Coefficienten haben, und nur für 

 solche Werthe von x, deren reeller Theil gleich Null ist, unend- 

 lich gross werden. Als Summe von ebenso beschaffenen Gliedern 

 lässt sich also auch X{x) ausdrücken. 



5. 



Nun sei ,x' eine beliebige rationale Function von .r, und es 

 werde 



X,{x) = X{x') 



gesetzt, so dass X\{x) ebenfalls eine Summe von unendlich vielen 

 rationalen Functionen der Veränderlichen x ist. In der Ebene der 

 letzteren Grösse werden dann diejenigen Werthe derselben, für 

 welche der reelle Theil von x' verschwindet, durch eine reelle al- 

 gebraische Curve repräsentirt, welche die Ebene dergestalt in meh- 

 rere Stücke zerlegt, dass der reelle Theil von x in einigen Stücken 

 überall positiv, in den andern überall negativ ist. In den erstem 

 hat also X-[{x) überall den Werth + 1 , in den andern überall den 

 Werth —1. 



Nimmt man beispielsweise 



, ax-\- ß 



yx-\-d 



an, wo ö , /^ , 7 , § Constanten bedeuten, deren Wahl keiner andern 

 Beschränkung unterliegt, als dass uh — ßy nicht gleich Null sein 

 darf, so ist die genannte Curve bekanntlich ein Kreis^), und os 



^) Dies gilt allgemein, wenn man eine unbegrenzte Gerade als einen 

 Kreis mit unendlich grossem Radius betraehtet. 



