vom 12. August 1880. 739 



ebenfalls in eine unendliche Reihe, deren Glieder rationale Func- 

 tionen von X sind, umgeformt werden, und diese Reihe hat dann 

 die Eigenthümlichkeit, dass sie zwar innerhalb eines jeden der 

 Stücke, in welche die Ebene zerlegt ist, einen Zweig einer bestimm- 

 ten monogenen Function darstellt, in verschiedenen Stücken aber 

 Zweige verschiedener Functionen. 



Sind z. B. K\ K", ... JiT^''^ Kreise, von denen keiner einen an- 

 dern umschliesst, so wird durch dieselbe die Ebene in (r-hl) Stücke 

 zerlegt; und wenn man die Function x^'^^ so bestimmt^), dass ihr 

 reeller Theil im Mittelpunkt von K'-^} positiv ist, so liefert der 

 Ausdruck 



^r+i W + i :S (1+ I^(x)) (F^(X) - F,^,(X)) , 



der mit dem vorstehenden übereinstimmt, wenn unter Fi(x) , F2(x) , 

 ... -Fj.+iC^c) ebenfalls eindeutige Functionen mit einer endlichen An- 

 zahl wesentlicher singulärer Stellen verstanden werden, eine Reihe 

 von der in Rede stehenden Eigenthümlichkeit, indem dieselbe, wenn 

 X innerhalb der von K'^^^ begrenzten Kreisfläche angenommen wird, 

 gleich F^(x), und wenn x ausserhalb aller dieser Flächen liegt, 

 gleich F^,+i(x') ist, also innerhalb eines jeden der (r + l) Stücke, 

 worin die Ebene zerlegt ist, einen Zweig einer willkürlich anzu- 

 nehmenden Function von der hier vorausgesetzten Beschaffenheit 

 darstellt. 



Ein anderes Beispiel erhält man, wenn die Kreise K\ K", ...K^^''' 

 so angenommen werden, dass jeder der (r — l) ersten von dem 

 folgenden umschlossen, und somit die Ebene durch sie gleichfalls 

 in (?'-hl) Stücke zerlegt wird. Dann hat nämlich der Ausdruck 



1 {F, (X) + F,^, (X)) -{-^X(F^ {X) — F^+, (X)) I^ (X) 



die Eigenschaft, dass er innerhalb eines jeden der genannten Stücke 

 gleich einer der Functionen F^(x) , F2(x) , ... Fj,^i(x) ist. (Ein be- 

 sonderer Fall ist der, wo an die Stelle der r Kreise r einander 



^) Ist 7'- der Radius des Kreises K^^'\ und a.^ der Werth von x im 

 Mittelpunkt desselben, so kann man 



setzen. 



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