vom 12. August 1880. 741 



1) Dass man bei einer Function eines reellen Arguments aus 

 der Stetigkeit derselben nicht folgern könne, dass sie 

 auch nur an einer einzigen Stelle einen bestimmten Dif- 

 ferentialquotienten, geschweige denn eine — wenigstens 

 in Intervallen — ebenfalls stetige Ableitung besitze; 



2) Dass eine Function eines complexen Arguments, welche 

 für einen beschränkten Bereich des letzteren definirt ist, 

 sich nicht immer über die Grenzen dieses Bereichs hinaus 

 fortsetzen lasse; mit andern Worten, dass monogene Func- 

 tionen einer Veränderlichen existiren, welche die Eigen- 

 thümlichkeit besitzen, dass in der Ebene der Veränder- 

 lichen diejenigen Stellen, für welche die Function nicht 

 definirbar ist, nicht bloss einzelne Funkte sind, sondern 

 auch Linien und Fläclien bilden. 



Da im Vorhergehenden von Functionen einer complexen Ver- 

 änderlichen, denen die unter (2) genannte Eigenthümlichkeit zu- 

 kommt, die Rede gewesen ist, so will ich bei dieser Gelegenheit ein 

 leicht zu behandelndes Beispiel einer solchen Function beibringen. 



Angenommen, der Halbmesser des Convergenzbezirks einer 

 gewöhnlichen Potenzreihe 



00 



^ A X" 



sei gleich 1, die Reihe convergire aber auch unbedingt und gleich- 

 massig für alle Werthe von .r, deren absoluter Betrag gleich 1 ist, 

 so dass, wenn unter t eine reelle Veränderliche verstanden wird, 



oc 



X A e'*' 



eine stetige Function von t ist. 



Im Innern des Convergenzbezirks der Reihe nehme man eine 

 Stelle Xq beliebig an und forme die gegebene Reihe in eine Potenz- 

 reihe ^(x — .^o) um. Ist ?'o der absolute Betrag von Xq, so kann 

 der Halbmesser des Convergenzbezirks der Reihe '^(x — Xq) nicht 

 kleiner als 1 — ?'o, wohl aber grösser sein. Ist das Letztere der 

 "^all, so liegt eine Strecke der Begrenzung des Convergenzbezirks 

 der gegebenen Reihe ganz im Convergenzbezirk von '^(x — Xq), und 

 es besteht, w^enn 



~ = e ist, und x^ = e" 



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