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gesetzt wird, für alle Werthe von t zwischen zwei bestimmten 

 Grenzen (^o — "^ -> ^o + ■^) die Gleichung 



<j 



Nun hat aber "^{x — x^^ als Function von x betrachtet, Ableitun- 

 gen jeder Ordnung; dasselbe gilt also auch von ^ (.r^ — .Tq), als 

 Function von t betrachtet, für die zwischen ^o — ~ "nd t^ — t lie- 

 genden Werthe dieser Grösse. Hieraus folgt nun: Wenn sich in 

 einem bestimmten Falle beweisen lässt, dass die Function 



oo 



in keinem Intervalle der Veränderlichen t Ableitungen jeder Ord- 

 nung besitzt, so ist daraus zu schliessen, dass der Convergenzbe- 

 zirk der Reihe "^{x — x^^ wie man auch Xq annehmen möge, ganz 

 in dem Convergenzbezirk der gegebenen Reihe enthalten ist, die 

 Function also, welche durch diese letztere dargestellt wird, über 

 deren Convergenzbezirk hinaus nicht fortgesetzt werden kann. 



Nun sei a eine ungerade positive ganze Zahl, h eine positive 

 Grösse, die -< 1, und a^ == a". Dann erfüllt die Reihe 



CO 



die oben für die betrachtete Reihe gestellten Bedingungen. Es ist 

 aber von mir der Beweis^) geführt worden, dass die Function 



oo 



sobald ah >> H-|-7r ist, für keinen Werth von t einen bestimm- 

 ten Diflferentialquotienten besitzt. Durch die Reihe 



oo 



wird also, wenn ah > l-f-fTr, eine Function definirt, die nicht über 

 den Convergenzbereich der Reihe hinaus fortgesetzt werden kann, 



^) Dieser Beweis ist von Hrn. P. du Bois-Reymond, dem ich ihn 

 brieflich mitgetheilfc hatte, im 79sten Bande von Borchardt's Journal S. 30 

 veröffentlicht. (Ich berichtige bei dieser Gelegenheit zvs^ei a. a. 0. sich fin- 

 dende Druckfehler. Z, 10 v. o. muss es Xq st. a^ , und Z. 4 v. u. auch 

 St. nicht heissen.) 



