vom 28. Octoher 1880. 855 



ist, wenn a eine complexe Grösse bedeutet, deren reeller Theil 

 positiv ist. — Die eindeutige Function von x, welche die linke 

 Seite der Gleichung (lYa) bildet, ist das Quadrat von $(^); die 

 Function $(.r) selbst kann daher nur den Werth +l oder — 1 

 haben, und von diesen beiden Alternativen wird die letztere dadurch 

 ausgeschlossen, dass ^{x) für ^ = sich dem reciproken Werthe 

 des von — oo bis -\- oo erstreckten Integrals fe~^'^du, also einer 

 offenbar positiven Grösse nähert. Hieraus folgt aber, dass auch 



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der Grenzwerth, dem sich ^(e~^~^) für w = nähert, d. h. der 

 Werth von 



(V?) 



o 







gleich H- 1 ist, dass also die mit (VI) bezeichnete Gleichung be- 

 steht, welche die vollständige Werthbestimmung der G aufs 'sehen 

 Reihen in sich schliesst. Diese Deduction führt also, nur von dem 

 absoluten Werthe der Summen der Gaufs'schen Reihen ausgehend, 

 zur Transformation der ö -Reihen und mit Hülfe derselben alsdann 

 auch zur Bestimmung des Vorzeichens der Quadratwurzel, welche 

 bei der Summation der Gaufs'schen Reihen erscheint. Die dabei 

 benutzte Schlussweise lässt sich ganz übersichtlich darstellen, wenn 

 man, wie oben, den Ausdruck 



in welchem \ogx .\ogy =1 ist, mit i(x) bezeichnet, so dass 



lim.*(e-»H) = ()/f)Ä ( M 



W=0 G\~\ ^ 



wird. Dann ist nämlich die Voraussetzung, von welcher ausge- 

 gangen wird, in der Gleichung ' 



lim.*(e-«'^-?) = ± 1 



enthalten, und aus dieser folgt mit Hülfe der Cauchy 'sehen Prin- 

 cipien, dass 



(^{x)f = 1 , also ^{x) = +1 oder $(.^) = — 1 

 sein muss. Da aber lim.*(.a;) > ist, so resultirt die Gleichung 



X= 



*(,r) = 1, 



welche die Transformation der ö- Reihen enthält, und hieraus er- 

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