856 Gesammtsitzung 



giebt sich schliesslich die Vorzeichenbestimmung in der Gleichung, 

 welche den Ausgangspunkt bildete, nämlich 



lim.*(e-^^-0 = + 1 , 



und eben damit auch die Vorzeichenbestimmung für die Werthe 

 der Gau fs 'sehen Reihen. 



II. Der absolute Werth der G aufs 'sehen Reihen, welcher 

 bei vorstehender Deduction zu Grunde gelegt worden, lässt sich 

 ermitteln, ohne die Existenz der primitiven Congruenzwurzeln zu 

 Hülfe zu nehmen, also ohne über die Sphäre der quadratischen 

 Reste hinauszugehen. Zuvörderst sind nämlich mittels der Glei- 

 chung (vgl. S. 694) 



»C")-«CtP)K^) 



in welcher X, ix, v als zu einander prim vorausgesetzt sind, alle 

 Gaufs'schen Reihen auf diejenigen zurückzuführen, in welchen 

 der Nenner eine Primzahlpotenz p^' ist. Wenn nun ferner (/, = p'* 

 und in der Gaufs'schen Reihe 



k = mp'^^^-hn genommen wird, so wird hierdurch der Werth der 

 Gaufs'schen Reihe für fj. = p'* ganz unmittelbar auf den Werth 

 der Gaufs'schen Reihe für /ia = jp"~^ zurückgeführt. Ist endlich 

 fx eine ungrade Primzahl p, und bezeichnet man mit a die quadra- 

 tischen Reste von p und mit b die Nichtreste, so ist 



und 



also 



wo ( - I das Legendre'sche Zeichen d. h. gleich +1 oder — 1 

 ist, je nachdem r zu den Zahlen a oder b gehört. Da nun ferner 



(f) 



k=p-l 



= X e 



k=o 



2rXTri 



p __ 



1 + 2:^6 



a 



ar\Tri 

 P 



+ 22: 



a 



arXni 



e P 



-f- 1 + 2 



Xe p ^ 



b 



, 



\PJ \ P J h k 



^^ p == XXe''' P 



