vom 28. Ctoher 1880. 857 



ist, wo für die Summationsbuchstaben Ä, /<;, r, s alle Werthe von 

 bis p — 1 zu nehmen sind, so resultirt die Gleichung 



(T)(«(7)y- 



mit Hülfe deren die Bestimmung des absoluten Werthes der Gaufs- 

 schen Reihen vollendet wird. 



III. Die Herleitung der Productentwickelung der ö- Reihen, 

 welche oben S. 696 erwähnt worden ist, geschieht durch den Nach- 

 weis, dass der Quotient jener für 



q = e"""^ , z = e^'^* 



mit 3"(^,t) übereinstimmenden Reihe 



Xq" i-iz) 



V 



und des Products 



— iq^{z — z-^) n (1 — f"") (1 — q^'^z^) (1 — q^^'z-"') , . 



gleich lEins ist. Es ist nämlich zuvörderst klar, dass dieser Quo- 

 tient für alle, auch für unendlich grosse Werthe von z stets end- 

 lich bleibt und also von z unabhängig sein muss. Es ist ferner 

 zu sehen, dass dieser Quotient ungeändert bleibt, wenn (f für q 

 gesetzt wird, indem sowohl für die Reihe als auch für das Pro- 

 duct die Relation 



(IX) S(i,r) = 2.*''"^a-r,4r) 



fast unmittelbar erhellt. Der Quotient hat also für jedes q denje- 

 nigen Werth, welchen er für unendlich kleine Grössen q erhält, 

 d. h. eben den Werth Eins, — Ganz ebenso ist auch die auf 

 S. 691 mit (HI) bezeichnete Transformationsgleichung zu verifici- 

 ren. Denn die auf der linken Seite stehende Function von x und 

 z muss — wie schon oben S. 697 ausgeführt ist — von z unab- 

 hängig sein, oder, was damit übereinkommt, es muss der Quotient 



,/ >'2 • -S-C^r , t) 



von i unabhängig sein. Setzt man hierin 



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