858 Gesammtsitzung 



erstens ^ = — , 

 2t 



zweitens 4r an Stelle von r und dann ^ = — 4- + — , 



8r 



so ist leicht zu zeigen, dass die beiden resultirenden Werthe jenes 

 Quotienten mit einander übereinstimmen. In der That bedarf es 

 dazu ausser der Gleichung (IX) nur noch der ebenso unmittelbar 

 sowohl aus der Reihenform als auch aus der Productentwickelung 

 von 3- hervorgehenden Relation 



(X) e*^='"-'^'"a(2T, 40 = &(i+i., .) , 



welche gewissermassen die „transformirte" der Relation (IX) ist. 

 Da nun jener Quotient seinen Werth nicht ändert, wenn r in 4r 

 verwandelt wird, so ist der Werth constant, nämlich derjenige, der 

 für T = oo oder ^ = eintritt, und dieser constante Werth er- 

 giebt sich unmittelbar gleich Eins, wenn r = ^ und ^ = i(l + 

 genommen wird. 



Ich bemerke noch, dass ebenso wie die Gleichung (IX) auch 

 andere Transformations -Relationen der Ö- Reihen benutzt werden 

 können, und dass Hr. Rausenberger in einer mir neulich als 

 Beitrag zum Journal für Mathematik eingesandten Arbeit, von den 

 Productentwickelungen ausgehend, eine Herleitung der einfachen 

 linearen Transformation mittels Functional- Gleichungen, die der 

 Transformation 2ter und 3ter Ordnung entstammen, gegeben hat. 



IV. Die allgemeinste lineare Transformation der ö- Reihen 

 kann, wie schon auf S. 697 angedeutet worden, genau in derselben 

 Weise wie die speciellere, die durch die Gleichung (III) ausge- 

 drückt ist, oder auch mit Hülfe dieser Gleichung aus der Ent- 

 wickelung von 



nach Potenzen von e^""^ hergeleitet werden. Die Transformations- 

 gleichung erscheint alsdann in folgender Gestalt: 



(XI) a(^', /) = (]/5:i±-') a(^«'^*>'ö,„ (^.) Bi? 



0, 



und es bedeuten hier «, ß, 7, § beliebige ganze Zahlen, welche 

 die Bedingung uB — ßy = 1 erfüllen, es ist ferner 



