930 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



15. November. Sitzung der physikalisch -mathe- 

 matischen Klasse. 



Hr. Kummer las: 



Über die cubischen und biquadratischen Gleichungen, 

 für welche die zu ihrer Auflösung nöthigen Quadrat- und 

 Cubikwurzelausziehungen alle rational auszuführen sind. 



Wenn man eine cubische Gleichung mit rationalen Coefficien- 

 ten, welche eine rationale Wurzel hat, nach der Cardanischen 

 Formel auflöst, um diese rationale Wurzel zu finden, so können 

 zwei verschiedene Fälle eintreten, nämlich entweder lassen sich 

 die zur Auflösung nöthigen Wurzelausziehungen (einer Quadrat- 

 wurzel und zweier Cubikwurzeln) alle für sich rational ausführen, 

 so dass man die gesuchte Wurzel unmittelbar als rationale Zahl 

 erhält, oder diese Wurzelausziehungen lassen sich nicht in ratio- 

 naler Form ausführen, so dass man die gesuchte rationale Wurzel 

 nur durch irrationale Wurzelgrössen ausgedrückt erhält. Es han- 

 delt sich nun darum, genau unterscheiden zu können, wie die cu- 

 bische Gleichung beschaffen sein muss, damit der eine oder der 

 andere Fall Statt habe. 



Es sei cc die rationale Wurzel der cubischen Gleichung, so 

 müssen, damit die cubische Gleichung durch die Cardanische For- 

 mel in realer Form auflösbar sei, die beiden anderen Wurzeln con- 

 jugirt imaginär sein, also von der Form m -\~ ni und m — ni. Die 

 drei Coefficienten der cubischen Gleichung sind demnach 



a-\-2m , m^-|-2am+w^, a(w?-\-n^) 



Da dieselben nach der Voraussetzung rational sein sollen, so folgt 

 zunächst aus dem ersten Coefficienten, dass ausser « auch m ratio- 

 nal sein muss, und sodann aus dem zweiten, dass auch n? rational 

 sein muss. 



Betrachtet man nun zunächst die Quadratwurzel, welche in der 

 Cardanischen Formel unter den beiden Cubikwurzeln steht, so hat 

 dieselbe, wenn die drei Wurzeln der cubischen Gleichung mit a, h 

 und c bezeichnet werden, den Werth 



y^ ^^lz:l(^a — h){a-^c)(h — c) 



