932 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



und sind demnach alle in der Form 



enthalten, wo «, /3, 7 rationale Grössen sind. 



Die hier für die cubischen Gleichungen gelöste Aufgabe lässt 

 sich in ähnlicher Weise auch für die biquadratischen Gleichungen 

 stellen und lösen. Zu diesem Zwecke ist zunächst zu zeigen, dass, 

 wenn eine Gleichung vierten Grades eine rationale Wurzel hat, 

 welche nach den bekannten Methoden der Auflösung der Gleichun- 

 gen vierten Grades sich so finden lässt, dass alle dazu nöthigen 

 Quadrat- und Cubikwurzelausziehungen sich rational ausführen lassen : 

 dieselbe nothwendig noch eine zweite rationale Wurzel haben muss. 

 Die Auflösung der cubischen Hülfsgieichung ist für die allgemeine 

 Auflösung der Gleichungen vierten Grades unentbehrlich , darum 

 müssen alle Wurzelausziehungen, welche in derselben vorkommen, 

 sich rational ausführen lassen, und sie muss eine rationale Wurzel r 

 haben. Aus dieser rationalen Wurzel muss sich auch die Quadrat- 

 wurzel rational ausziehen lassen; denn diese kommt in der Dar- 

 stellung der Wurzel einer biquadratischen Gleichung nothwendig vor. 

 Vermittelst dieser Quadratwurzel aus r, welche rational ist, kann 

 man aber die biquadratische Gleichung in zwei Factoren zweiten 

 Grades zerlegen, deren Coefficienten rational sind. Der eine dieser 

 beiden Factoren muss die eine nach der Voraussetzung rationale 

 Wurzel der Gleichung vierten Grades enthalten, welche mit a be- 

 zeichnet werden soll, die andere Wurzel dieser Gleichung zweiten 

 Grades, deren Coefficienten rational sind, welche mit ß bezeichnet 

 werden soll, muss darum ebenfalls rational sein. Die biquadrati- 

 sche Gleichung muss also nothwendig zwei rationale Wurzeln, n 

 und /3, haben. 



Ich setze nun die beiden anderen Wurzeln vorläufig gleich 

 m -\- n und m — n, so ist die Summe der vier Wurzeln gleich 

 et -\- ß + 2m, woraus folgt, dass m = 7 rational sein muss. Fer- 

 ner ist der Coefficient des zweiten Gliedes, die Summe der Pro- 

 ducte je zweier Wurzeln, gleich a ß -\- 2 {a -\- ß) m -\- m^ — n^ ra- 

 tional, woraus weiter folgt, dass n^ rational sein muss; man hat 

 also, wenn die vier Wurzeln der biquadratischen Gleichung mit «, 

 ft, c, d bezeichnet werden 



