vom 15. November 1880. 933 



a=za,b = ß^c = y-hn,d=zy — n. 



Die innere Quadratwurzel j/w, welche unter den beiden Cubik- 

 wurzelzeichen steht und nach den Bedingungen der Aufgabe ratio- 

 nal sein muss, hat aber den Werth 



j/w = 9Q,V^-3(a — h)(a — c)(a~d)(b — c)(b — d)(G^d) 



(m. s. die genannte Abhandlung von Jacobi S. 343); derselbe 

 giebt für die angegebenen Werthe von a, 5, c, d 



und weil in diesem Ausdrucke alles ausser V — 3.n rational ist, 

 so muss diese Grösse auch rational sein, also n von der Form 

 n = SV — 3, wo § rational ist. Man hat daher für die gesuchte 

 biquadratische Gleichung die nothwendige Bedingung, dass ihre vier 

 Wurzeln von der Form 



ö = «,& = /3,c = 7 + §l/^ , d = «y — Sl/Hs 



sein müssen, wo «, ß, 7, § rationale Grössen sind. 



Die nothwendige Bedingung für die Lösung der gestellten Auf- 

 gabe, dass die vier Wurzeln der biquadratischen Gleichung diese 

 Formen haben müssen, ist somit gefunden, und es bleibt nur noch 

 zu zeigen, dass diese Bedingung auch die hinreichende ist, oder 

 dass für diese Formen der Wurzeln alle in der allgemeinen Auf- 

 lösung der Gleichungen vierten Grades vorkommenden, zur Auffin- 

 dung der beiden rationalen Wurzeln cc und ß nöthigen Quadrat- 

 und Cubikwurzeln sich rational ausziehen lassen. Diese sind erstens 

 die beiden Cubikwurzeln von der Form 



in welchen 



r^ 



±. 1/üu 





und 



64.9(a — /3)§((«- 



-yf-^Zh'){{ß 



-7)' + 3S') 



V 



= 32.(2(a&4-cd)- 



— (ac-\-bd) — 



{ad + bO) 





.{2{ac-^-bd)- 



— {ad+bO — 



(ab -[-cd)) 





.{2{ad-^bc)- 



— iab-\-cd) — 



(ac-hbd)) 



(m. s. Jacobi's Abhandlung, Crelle's Journal S. 343, wo diese 

 Formel, mit einem leicht zu verbessernden Druckfehler behaftet, 



