vom 15. November 1880, 937 



nn(l + ^.?/;fc) a- = l,2,...m;Ä;=l,2,...«) 



h k 



hervorgeht, je nachdem die Multiplication in Beziehung auf i oder 

 in Beziehung auf k ausgeführt wird. 



Bei der Entwickelung des Products auf der linken Seite der 

 Gleichung (A) treten alle jene einfachsten Typen symmetrischer 

 Functionen von Grössen y, aus denen sich alle symmetrischen 

 Functionen additiv zusammensetzen lassen, als Factoren der ver- 

 schiedenen Glieder 



fafffc".- («<5<:C<...-m) 



auf. Der Factor eines solchen Gliedes ist nämlich die Summe 

 aller derjenigen Producte von Potenzen der Grössen y , welche aus 



(yiy2,...2/«)"&«+i2/«+2.-.2/«+/3)''&«+0+i2/«+,3+2...2/«+/5+y)'.... 



durch Permutation von ?/i , 2/2 > ••• Vn entstehen und unter einander 

 verschieden sind, also eine ganze ganzzahlige symmetrische Func- 

 tion der Grössen ?/, welche mit 



® U/3,7, J 



bezeichnet werden soll. 



Das Product auf der rechten Seite der Gleichung (A) muss, 

 als Function der m Grössen x betrachtet, ebenso wie das Product 

 auf der linken Seite eine ganze ganzzahlige Function der m ele- 

 mentaren symmetrischen Functionen dieser Grössen x sein. Es 

 müssen also auch die einzelnen ganzen ganzzahligen Functionen 

 der Grössen x, welche als Factoren der verschiedenen Glieder 



in der Entwickelung des Products rechts auftreten, ganze Functio- 

 nen der elementaren symmetrischen Functionen fi , f2 ••• L* sein. 

 Doch bedarf es für diese Schlussfolgerung des Nachweises, dass 

 jene verschiedenen Glieder g^g/g^... von einander linear unabhän- 

 gige Functionen der Grössen y sind, d. h. dass die elementaren 

 symmetrischen Functionen selbst von einander unabhängig sind. 

 Nimmt man überdies als bewiesen an, dass die verschiedenen 

 Producte von Potenzen der elementaren symmetrischen Functionen 

 auch im Sinne der Congruenz für irgend einen ganzzahligen Modul 

 von einander linear unabhängig sind, dass also eine ganze ganz- 

 zablige Function von fi , f^ 5 ••• fm nur dann eine durch die Zahl p 



