938 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



theilbare ganze ganzzahlige Function von cc^^x^, ... x^ sein kann, 

 wenn auch alle Coefficienten der einzelnen Glieder f^ ff f^ ... 

 durch p theilbar sind, so folgt, dass jene Factoren der Glieder 



ö^ 0; SI -. , 



als ganzzahlige Functionen der Grössen x auch ganzzahlige Func- 

 tionen der Grössen / sein müssen. Das Product auf der rechten 

 Seite der Gleichung (A) lässt sich daher ebenso wie das auf der 

 linken in ein Aggregat von Gliedern 



\a 16 \c ••• 



entwickeln; die Coefficienten erscheinen aber hier als ganze ganz- 

 zahlige Functionen der n Grössen g und ergeben also die allge- 

 meinsten symmetrischen Functionen der Grössen ?/, welche die 

 Coefficienten der Entwickelung links bilden, durch die n elemen- 

 taren symmetrischen Functionen g als ganze ganzzahlige Functio- 

 nen derselben ausgedrückt. 



Dass eine ganze Function der elementaren symmetrischen 

 Functionen nicht gleich Null und dass eine ganze ganzzahlige 

 Function derselben auch nicht für irgend einen ganzzahligen Mo- 

 dul congruent Null werden kann, folgt zunächst durch Inductions- 

 schluss. Denn wenn eine ganze Function der m -{- 1 elementaren 

 symmetrischen Functionen von ^0 ? -^i > -^2 > ••• ^m 



gleich oder congruent Null sein soll und deren Glieder höchster 

 Dimension (d) bilden das Aggregat 



^C,,s,t,... (^0+ fiX (^0/1+ [2^ (^of2-H fa)* ... , 

 in welchem r = d — s — t — .... ist, so muss 



als Coefficient der höchsten Potenz von ^0 gleich oder congruent 

 Null sein, und es muss also, da die zu beweisende Eigenschaft 

 für die Functionen von m Grössen ^1 , ^2 ? •.• ^m vorausgesetzt 

 werden kann, auch jeder einzelne Coefficient C selbst gleich oder 

 congruent Null sein. Eben diese Eigenschaft lässt sich auch ganz 

 einfach erschliessen, wenn 



Xi = v^ 



und g hinreichend gross (bei den obigen Bezeichnungen grösser als w) 

 genommen wird. Dann gehen nämlich die einzelnen Ausdrücke 



