vom 15. November 1880. 939 



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in ganze ganzzahlige Functionen von v über, welche von lauter 

 verschiedenen Graden sind und sämmtlich als Coefficienten der 

 höchsten Potenz von v die Einheit haben. 



Es verdient hervorgehoben zu werden, dass sich die obige 

 Entwickelung noch vereinfacht, wenn man die Darstellbarkeit der 

 symmetrischen Functionen mittels der elementaren für weniger als 

 n Grössen voraussetzt. Nimmt man nämlich m. = n — 1 , so folgt 

 dann unmittelbar, dass die rechte Seite der Gleichung (A), als 

 symmetrische Function der (n — 1) Grössen ^, sich als ganze ganz- 

 zahlige Function der Grössen f und g darstellen lässt. Die Ent- 

 wickelung dieser Function ergiebt alle jene symmetrischen Functio- 

 nen der n Grössen y als Factoren der einzelnen Glieder f^t^fc^'"* 

 Dass hierbei nur solche symmetrische Functionen auftreten, in de- 

 nen die Exponenten a, Z>, c, ... kleiner als n sind, thut der Allge- 

 meinheit keinen Eintrag, da jede ganze Function einer der Grös- 

 sen y mittels -der identischen Gleichung 



auf den (n — l)ten Grad zu reduciren ist. Die Gleichung (A) ent- 

 hält hiernach einen sehr einfachen Inductionsbeweis für den Satz, 

 dass jede symmetrische, ganze, ganzzahlige Function von 2/i,2/2v2/n 

 sich als ganze ganzzahlige Function der n elementaren symmetri- 

 schen Functionen g darstellen lässt. 



IL Substituirt man in der Gleichung (A) für x^ den Werth 

 v^^ , so erweist sich das Product 



(B) n (1 -^- gi?;9'-l- ggV^^'H l-^nV"Ö (i=o,i,2,...) 



als eine erzeugende Function der symmetrischen Functionen von 

 VitVi-)'" Vn ij^ ^Q^ Sinne, dass jene einfachsten Typen symme- 

 trischer Functionen der Grössen ?/, welche oben mit 



® U/3,7,...) 

 bezeichnet worden sind, durch die elementaren symmetrischen 

 Functionen g ausgedrückt, als Coefficienten der Entwickelung nach 

 denjenigen ganzen Functionen von v erscheinen, welche aus 



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durch die Substitution Xi = v^^" hervorgehen. 



