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wenn man die Bezeichnung einführt 



ft« 



(5) 



und ebenso erhält man durch weiteres Deriviren der letzten Glei- 

 chungen cp L +f 2 y" +f z z" = 0, 



woraus ebenso folgt 



l:y»:z» = 4 23 :D 3l :D 12 , (6) 



wenn eine ähnliche Bezeichnung 



eingeführt wird; werden also die aus (4) und (6) erhaltenen Werthe 

 von y% z', y", z" in die Gleichung (1) eingesetzt, so erhält man 

 zunächst die Gleichung 



Š — x, ij — y, % — z 



'23 1 



'12 



D n 



Z>, 



= 0, 



~31 

 '23 1 ^31 ) -T2 



wo Z> 23 zz der Symmetrie halber hinzugefügt wurde, oder wenn 

 man berücksichtigt, dass 



^23 



'11 í 





31 1 -"12 

 >31 i #12 



liefert, die zweite Form der Gleichung 



Aitf-*) + #i.fo -*) + #»«-- *) = <>, 

 aus welcher sich unmittelbar ergibt 



D ll S + D l2 f 1 + D n t = D ll x + D 12 y + D l ,z. (8) 



Sind nun die Funktionen / und F homogen, die erste vom 

 Grade w, die zweite vom Grade w, so ist zunächst 



Ai ® = (9>i ■*! — ®iA) x 



D ^y = (<Pi ^2 — *i/ 2 )y 



A 3 ^ = (9l^8-*l/3)*i 



daher in Folge des bekannten Eulerschen Theorems über homogene 

 Funktionen 



#n x + #12 V + #13 « = n Fcp x — mfO u 

 wornach die Gleichung (8) die einfachere Form 



D íl Š + D l2 r 1 + D 1 ^ = nF<p 1 -mf® l (9) 



annimmt. 



Für den speciellen Fall endlich, wo die beiden Funktionen von 

 gleicher Dimension sind, also 



