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Dass diese Wurzel nun unter keinen Umständen rational gemacht 

 werden könne, diess a priori nachzuweisen ist er ausser Stande; es 

 ergibt sich aus den von ihm angestellten Überlegungen lediglich so- 

 viel, dass verschiedene sonst zum Ziele führende Kunstgriffe in diesem 

 Falle versagen, oder, wie er selbst sich ausdrückt, „man mag auch 

 die Sache angreifen, wie man will, so wird man nie einen solchen 

 Werth finden, der uns zu unserem Zwecke führt, woraus man schon 

 mit ziemlicher Sicherheit schliessen kann, dass es nicht möglich ist, 

 zwei Kubus zu finden, deren Summe ein Kubus wäre." Da also auf 

 diesem Wege nichts Endgiltiges zu finden war, so bedarf es noch 

 eines deduktiven Nachweises a posteriori, dass jene Forderung eine 

 unerfüllbare ist; derselbe schliesst sich unmittelbar an die genannte 

 Aufgabe an und ist theoretisch allerdings einwurfsfrei, dagegen aber 

 durch die nöthig werdende Rücksichtsnahme auf alle möglichen be- 

 sonderen Fälle ungemein weitläufig und unübersichtlich, wie er denn 

 in vorerwähnter deutscher Aufgabe nicht weniger als sechs engge- 

 druckte Seiten einnimmt. Da sonach ein einfacher elementarer Be- 

 weis dieses Fundamentalsatzes noch immer zu fehlen scheint, so legen 

 wir nachstehend einen hierauf abzielenden Entwurf vor ; derselbe hält 

 sich bis zu einem gewissen Punkt hin in den Bahnen E u 1 e r ' s , lässt 

 jedoch die Untersuchung der in wesentlich einfacherer Form auf- 

 tretenden Irrationalität nicht als nutzlos fallen, sondern knüpft un- 

 mittelbar an dieselbe an. Es wird nämlich dargethan werden: 



Die Rationalmach ung der quadra tischenirr ational- 

 grösse, welche stets möglich ist, führt nothwendig eine 

 kubische Irrationalität in die Rechnung ein und um- 

 gekehrt. 



§. 5. Hat man die unbestimmte Gleichung 

 # 3 -f */ 3 zza 3 *) 

 aufzulösen, so ertheilt man ihr zunächst die Gestalt 



(x + y) (x 2 — xy + y 2 ) = a 3 

 und setzt x~\- y — z, xyzzu^ so dass man erhält 



i*3 A* 



z (z 2 — Zu) ~a? ,u 



3z 



Wird dieser Werth von u oben substituirt, so findet man in be- 

 kannter Weise 



*) Dass a statt z gesetzt ist, hat natürlich auf den Gang der Untersuchung 

 keinen Einfluss und geschah nur, um die Continuität mit jener älteren Auf- 

 gabe aufrecht zu erhalten. 



