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§. 6. Es ist hiemit der allerdings einfachste, wohl aber auch 

 praktisch wichtigste Specialfall einer arithmetischen Fundamental Wahr- 

 heit *) in einer wesentlich neuen Form dargestellt worden. Der 

 streng elementare Charakter vorstehenden Beweises möchte demselben 

 vielleicht einen Platz in den ersten Anfangsgründen der unbestimmten 

 Analytik sichern; zugleich aber könnte er auch dazu dienen, das 

 Interesse des Lernenden zu jenen E ul e r- La gr angesehen Unter- 

 suchungen zurückzulenken, aus welchen — unbeschadet des hohen Ver- 

 dienstes der „Disquisitiones arithmeticae" — doch eben in 

 letzter Instanz all' unsere diessbezüglichen Kenntnisse entsprungen sind. 



Anhangsweise möge noch erwähnt werden, dass die Verificirung 

 unseres Lehrsatzes auch noch auf eine andere Weise leicht erfolgen 

 kann. In Folge eines von Fürst Boncompagni gegebenen In- 

 pulses haben sich mehrere Gelehrte , in Deutschland besonders 

 Matthi essen, 20 ) mit der ganzzahligen Auflösung der diophantischen 



Gleichung 



aj3 _|_ ^ _|_ r y _|_ ^ _|_ 2r )3 _[_ # # m [ x _^_ ( W _ X ) r y _ y s 



beschäftigt. Die independenten Lösungsformeln haben jedoch ledig- 

 lich für n djz. 3 einen bestimmten Sinn ; insbesondere entfliesst aus 

 Matthiesse n 's Resultat die Erkenntniss, dass für n zz 2 einzig 

 und allein die (uneigentliche) Lösung x—y, r — — x existirt. 



schieden voraussetzt. Auch Euler's posthume „Methodus nova et fa- 

 cilis formas cubicas et biquadratiquas ad quadratum redu- 

 cendi", auf deren innigen Zusammenhang mit der Lehre von den ellip- 

 tischen Funktionen Ja c obi aufmerksam gemacht hat, 10 ) ist hier durchaus 

 unanwendbar. Lagrange hat gerade das hier in Rede stehende irrationale 

 Gebilde V/ 2 + ^ 3 auf das Eingehendste untersucht 11 ) und eruirt, in welchen 

 Fällen eine rationale Transformation desselben möglich ist; hiezu gehört 

 f—1 , duz 108 nicht. 

 *) Die freilich noch hypothetische Bemerkung, dass x n -\-y* — z* keine ganz- 

 zahlige (resp. rationale) Auflösung zulasse, geht bekanntermassen auf einen 

 der vielen Blitze vonFermat's zahlentheoretischem Genie zurück. 12 ) Bis 

 in die ersten Jahre des laufenden Sekulums scheint man sich mit der Veri- 

 ficirung dieser universellen Wahrheit für »~3 begnügt zu haben. Von da 

 ab jedoch wandten die angesehensten Forscher ihre Kräfte dieser wichtigen 

 Erweiterung der alten pythagoräischen Dreieckslehre zu. Lebesgue lieferte 

 einen ingeniösen Beweis für n=r4, der allerdings bereits über die Hülfs- 

 mittel der gewöhnlichen Elemente hinausgeht 13 ); noch energischer bean- 

 spruchten den höheren Kalkul jene Beweise, welche Dir i chl et für n = 5 l4 ), 

 sowie für w = 14 ls ) und Kummer 16 ) für eine ganze Klasse von Potenz- 

 exponenten erbracht haben. Von einem ganz allgemeinen Standpunkt aus 

 behandelt eine andere Abhandlung des genannten Mathematikers 1 7 ) die F er- 



