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Aus den Gleichungen (7), welche in der Form 



a 2 k — #2ifc-}-l #2Jfe— 1 , 2fe ~ ß2k+l ß%k— 1 



geschrieben werden können, erhält man durch Multiplication derselben 

 und Verbindung des Kesultates mit 



4:CC 2 k ftjfc ■=: «2*— 1 ftfc— 1 "f" #2*4-1 /?2*4-l 



die Gleichung 



«2*— 1 /?2fc+l -f- #2Ä;-f-l ftifc-1 = 2a 2 Ä; 02* > 



und verfährt man analog mit den Gleichungen (6), so ergibt sich 



#2*— 2 ft* -f" #2* fc-2 — 2«2Ä;— 1 ßth— 1 j 



so dass allgemein 



«r-l /Jr+1 + «r+1 ßr-1 = 2<*rßr (14) 



geschrieben werden kann. 



Aus den Gleichungen (13) und (14) folgt endlich 



a r _i ft. +1 = a r ß r ± 1 (15) 



CC r+1 ßr-i = (X r ßr + 1 . (16) 



§. 4. Wir wollen allgemein 



€ r -\-£ n -r = <?«,,• (17) 



bezeichnen, und indem vorläufig w als constant angenommen wird, 

 kann der erste Index weggelassen werden. Den Gleichungen (1) zu- 

 folge wird für je 3 auf einander folgende <? die Gleichung 



tfr-l + 4* r + **_! = () (18) 



Geltung haben. Besitzen zwei auf einander folgende Zahlen <r einen 

 gemeinschaftlichen Theiler, so ist derselbe offenbar ein gemeinschaft- 

 licher Theiler sämmtlicher Zahlen <?, welche zu demselben n gehören. 

 Stellen wir uns die Aufgabe, diesen gemeinschaftlichen Theiler zu 

 bestimmen. 



Es sei zunächst n gerad; dann wird unter den Gleichungen, 

 welche in der allgemeinen Formel (18) enthalten sind, auch die fol- 

 gende vorkommen: 



<?n_ +4(?n+ö'« . =0. 

 2 2 2 + 



Da jedoch nach (17) 



also auch 6^_ =a n , 



so kann jene Gleichung auch in der Form 



<?» + 2<7n := 



2 2 



geschrieben werden, und man sieht, dass 



<r„ = 2s »_ = T 2a» /S^ 



2 2 2 2 



ein gemeinschaftlicher Theiler sämmtlicher Zahlen <r sein müsse. 



