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erscheint der Logarithmus einer Zahl als derjenige Exponent, nach 

 welchem die Grundzahl zu potenziren ist, um jene Zahl hervorzu- 

 bringen. Auch aus dieser Auffassung der Logarithmen können wir, 

 wie wir sogleich auseinandersetzen werden, zu den natürlichen 

 Logarithmen rasch gelangen und diese Benennung rechtfertigen. Als 

 Hauptförderungsmittel dieser Untersuchung benützen wir folgenden 



§.13. Hilfssatz über die Änderung j eglicher Potenz. 



Wächst in einer Potenz b x einer absoluten Zahl b der positive 

 oder negative Exponent x um eine beliebige, bestimmte positive Zahl 

 a auf x -f- a, also die Potenz selbst auf b x + a um &*+* — b x , so ist 

 dieses Wachsthum der Potenz ein bestimmter Bruch c der ursprüng- 

 lichen Grösse b x dieser Potenz; es ist nemlich 

 (frc+a — h x ) :b x —b a — l zz. c 



gleich einem bestimmten nur von b und a abhängigen Bruche c der 

 b x , wie gross auch der ursprüngliche Exponent x sein mag. Insbe- 

 sondere ergibt sich demnach dieser Bruch auch, wenn x von x =z O 

 aus auf x = a, daher b x von b° =z 1 aus auf 6 05 , also um b a — 1 

 anwächst, welches Wachsthum als Bruch der Einheit (1 = b°) ange- 

 sehen werden kann. Hiebei ist für positiv vorausgesetzte a die 

 i^l, je nachdem 6^1 ist; daher nimmt die Potenz selbst auch 

 entweder zu oder ab, und der Bruch c ist hiernach entweder positiv 

 oder negativ. 



§. 14. Allgemeine Berechnung der Logarithmen. 



In Bezug auf eine bestimmte Grundzahl b gehöre einer gewissen 

 Zahl z der Logarithmus x an; es sei also 



(1) z =z b x , und x = Logar. z . (2) 



Dann besteht vermöge Vorigem §. 13 zwischen der hier poten- 

 zirten Zahl 6, einer beliebigen absoluten Zunahme a des Exponenten 

 (Logarithmen) x und der verhältnissmässigen Zunahme c der Potenz 

 selbst, für jeglichen Exponenten x die Beziehungsgleichung 

 (3) b a — 1 = c. 



Nun ist aus der Gleichung (1) 



bzzz z x 



folglich ist 



l ö 



c=zz x — 1; 



a 



x """ 

 setzen und hiedurch den vorigen Ausdruck theilen, so erhalten wir 



und wenn wir hierin — ~cc 



x 



