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(4) — . x = , 



und sonach erfolgt sogleich der fragliche Logarithmus ganz allgemein 



(5) x = Logar. szzz — . . 



Aus dieser Gleichung können wir nun dieselben Folgerungen 

 wie aus jener Gl. (4) §. 4, ziehen und wie dort die Benennung 

 „natürliche Logarithmen" begründen, so wie auch auf sie dieselben 

 Erörterungen und Herleitungen wie in den §§. 6—8 stützen. 



§. 15. Auch die Grundzahl der Logarithmen überhaupt und der 

 natürlichen Logarithmen insbesondere lässt sich, wie im §. 8 — 9 aus 

 der obigen Gleichung (3, §. 14) durch die gleichzeitig bestehenden 

 Änderungen a und c allgemein ausdrücken. Die letztere Gleichung 

 gibt nemlich sofort, wie §. 8 Gleichung (4) 



(1) b = (1 -)- c)«, für lim (a, c) = 0. 



III. 



Berechnung der Grundzahl der natürlichen Logarithmen. 



§. 16. In §. 9 Gleichung (2) fanden wir für diese, mit e be- 

 zeichnete, Grundzahl den Ausdruck 



i 



(1) e zz (1 -f- a) «, für lim anO. 



Fassen wir die hier vorkommende Potenz vorläufig ganz allge- 

 mein nur als einen von a abhängigen Ausdruck auf und bezeichnen 

 ihn als solchen mit e a , lesbar e für a, setzen also 



(2) « a =(l + a)« 



so sind wir befugt die beliebig voraussetzbare Zahl a auch negativ 

 zu nehmen, also in — a umzutauschen, und dadurch zu bilden 



0) ^ = a - «)- = (rej « = — '-r 



(l-a)« 

 Offenbar gehen beide diese Ausdrücke für a =: 0, da die Setzung 

 von +0 und — gleich wirksam ist, über in die gesuchte Grenze 

 e = e +0 — e_ ; mithin nähern sich beide Ausdrücke e a und e_« zu- 

 gleich ohne Ende eben dieser Grenze, wenn a unendlich abnimmt 

 und ihrer unerreichbaren Grenze Null zustrebt. 

 Für a = 1 wird nun e a = 2 und 



1 

 



e_ a = — zzoo, 



