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daher fragt es sich, ob die zu bestimmende Grenze zwischen diesen 

 zwei Werthen, 2 und co, oder unterhalb 2 liege. 



§. 17. Lassen wir in den Ausdrücken e a und e_ a die Zahl a 



auf ihre Hälfte, -~- a, herabsinken, so wird, wie sich leicht übersehen 



lässt, einerseits 



2 



und anderseits 



mithin wachsen die früheren Potenziande, 1 -{- a und 1 — - a, je um 



-^-a 2 , und da der Exponent — absolut oder positiv aufzufassen 



ist, wachsen auch beide Potenzen selbst, folglich muss e a zunehmen, 

 also steigeud, dagegen e_ a abnehmen, daher sinkend der gemeinsa- 

 men Grenze e = e zustreben, und deshalb muss diese Grenze e 

 zwischen jeden zwei Werthen der e a und e_ ft enthalten sein. Bekannt- 

 lich heissen hierwegen e a und e_ a einschränkende Grenzen oder 

 sprachrichtig einschliěssende Schranken, und zwar e a die kleinere 

 oder untere, und e_ a die obere, der mittels schrittweiser Näherung 

 zu berechnenden Zahl e ; und diese selbst wieder kann als ein Mittel- 

 werth (Mittel) jedes Paares solcher Schranken angesehen werden. 



§. 18. Wenn wir nun irgend ein Mittel beider Schranken e a 

 und 6- a , vielleicht ihr arithmetisches Mittel 



(1) M a =-^-(e a + e^ a \ 



oder ihr geometrisches 



(2) ii a = V\ . e_ a 



berechnen, so muss dasselbe von der zu suchenden Zwischenzahl e 

 nothwendig um weniger sich unterscheiden, als die beiden Schranken 

 selbst von einander. 



Das arithmetische Mittel M a lässt Sich wegen der Potenzform 

 der e a und e_ a nicht in allgemeinen Zahlen darstellen, sondern nur 

 in besonderen berechnen, wenn die Zifferwerthe der Schranken selbst 

 ausgerechnet worden sind. Für das geometrische Mittel dagegen p a 

 haben wir allgemein 



c a . e_ a = (1 + «)«.(! — a)" -f- - °^ 



