218 

 daher 



( 3) ^GÉ3^ 



also in unschwer auszurechnender Form. 

 Bringen wir a auf ---«, so wird 



und hierin ist der letzte Potenziand bekanntlich ein arithmetisches 

 Mittel der Quotienten 



also auch des vorigen Potenziandes und der von ihm überragten 

 Zahl 1, von denen ersterer, weil a<l vorausgesetzt wird > 1, 

 dieser t& 1 selbst ist. Folglich ist der letzere Potenziand kleiner als 



der erstere und da der gemeinsame Exponent — jedenfalls positiv 



ist, auch die letztere Potenz selbst kleiner als die erstere, daher auch 



d. h. das geometrische Mittel gi 1 der engeren Schranken e 1 u. e 1 



■s? a -7r a zi a 



2 2 2 



ist kleiner als das ähnliche Mittel ^ a der weiteren Schranken e a und 

 e_ a ; mithin nähert sich das geometrische Mittel jedes Paares solcher 

 Schranken der von ihnen eingeengten, gemeinsamen unerreichbaren 

 Grenze e ±0 = e unaufhörlich fallend, welche sonach näher an der 

 unteren Schraňte e«, als an der oberen e_ a liegen, folglich zwischen 

 li a und der unteren Schranke e a enthalten sein muss. 



Da bekanntlich das arithmetische Mittel zweier Zahlen immer 

 grösser ist, als ihr geometrisches, und beide Mittel desto genauer 

 übereinstimmen, jeweniger diese Zahlen sich von einander unter- 

 scheiden; so muss auch das arithmetische Mittel jedes Paares zu 

 einem und demselben Werthe von a gehörigen Schranken, ebenso 

 wie das geometrische fallend der Grenze e sich nähern; und sohin 

 folgen in steigender Anordnung nach einander die Werthe: 



&<t j ß j j £j fta 5 -M-a , 6 ^ , 6 — a . 



§. 19. Zur Erläuterung und Bestätigung mögen folgende zwei 

 Beispiele dienen: 



