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und wenn wir durch sie die früheren Formen x a und a?_a theilen 

 erhalten wir 



a 

 x a • x i — ö -^ i ? 



__ 3 2 + l 

 x — a : x i — ö <1 1j 



welche Quotienten nachweisen, dass mit abnehmender Zahl a auch 

 xa abnimmt, dagegen #_« zunimmt. Desshalb muss xa abnehmend 

 (fallend) x_a hingegen zunehmend (steigend) ihrer gemeinsamen 

 Grenze x unaufhörlich sich nähern und x a immer grösser, ic_a aber 

 stets kleiner als x sich ergeben, und somit besitzen wir für jeden 

 Werth von a an x a eine obere und an x_ a eine untere Grenze 

 (Schranke) des zu suchenden Logarithmus x, 



§. 24. Dividiren wir den ursprünglichen Ausdruck von xa durch 

 den reduzirten von #_<*, (Gl. 1, 2; §. 22), so finden wir 



(0) Xa : X_a == 2« 



zum Zeichen, dass x a >x-a ist und dass beide sich desto mehr 

 einander nähern, je kleiner a wird. Aus diesem Quotienten leiten wir 

 nach bekannten algebraischen Lehren über die Mittel von Grössen, 

 wofern wir noch abkürzen, das arithmetische und geometrische Mittel 

 der Schranken xa und #_«, beziehungsweise mit M a und pa an- 

 deuten, also 



Xa-\-X. 



(1) Ma = ^^3 , lla == Vxa X_a (2) 



setzen, nachstehende Reihe gleicher Quotienten 



,«v Xa X^a 1 — 2 _0J Xa — X_a M* JA« 



Z« 1 CC 2« — 1 



T(s«-fl) 2 T« 

 M a — Pa 



2 ( Z T— 1)' 



Aus ihnen erhalten wir leicht das arithmetische Mittel 

 (4) M a = . z "- z - a 



2« 

 und das geometrische 



