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Y% = 1 db V i st - Denn hiernach findet man lz — r. 1(1 ±y) und man 

 ersieht leicht, dass es hier überhaupt um die Berechnung des Loga- 

 rithmus einer Zahl l±y sich handelt, in welcher y positiv oder 

 negativ sehr klein ist. 



Sei nun x = l (1 +y) (1) 



so setzen wir 



_ (l±y)«-l 



Xa — — 



a 



• 1 



und suchen daraus ± y = (1 + ax a ) <* — 1. Da wir die positive kleine 

 Zahl a den Stammbruch eines hohen Nenners n vorstellen lassen 



und sonach — = n annehmen dürfen, so können wir die letztere 

 a 



Potenz nach dem ursprünglichen binomischen Lehrsatze entwickeln 



und erhalten darnach 



, 1 — a 1 — a.l — 2« , 



± 1 y = X ci +~^-Xa 2 -{ ^ X a 3 



, 1— a.l— 2a. 1— 3a . . 

 + ji »« 4 + — 



Ersetzen wir nun hierin a durch seine unerreichbare Grenze 

 O (Null), so wird x = x 



±y = *+jr+ 3j+ 4š+--- 



und hieraus finden wir 



(2) * = ±*:(l + l + Ä+2XT+-)- 



Wenn y hinreichend klein ist, muss wegen 1 1 = O auch x ziem- 

 lich klein ausfallen; mithin wenn wir im Theiler die x ausser Acht 

 lassen, erhalten wir zuvörderst einen oberflächlichen Näherungswerth 

 x ==:fcy, daher der erste genauere Näherungswerth 



(3) Xí = ±y :( 1 +JL + JL_ ± _É_ + ...). 



Stellen wir ihn in den Theiler des Ausdruckes (2), so erfolgt 

 der zweite noch genauere Näherungswerth 



(4) ^ =±y: (i + £+^ + _f!£ r +... ) 



und wenn nöthig finden wir auf ähnliche Weise 



(5) , s = ± ,:(l+^ + -| ! L + T ^ r+ ...). 



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