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VI. 

 Exponentielle und logarithmische unendliche Entwickelungsreihen. 



§.31. Aus den Ausdrücken des allgemeinen Logarithmus und 

 der logarithmischen Grundzahl (§. 4, 4 und §. 7, 2) ersehen wir 

 leicht, dass wir von ihnen aus sofort auf Potenzen von Binomen 

 nach absoluten Exponenten, welche entweder ganze Zahlen oder 

 Stammbrüche derselben sind, übergehen können. Dürfen wir nun 

 die Giltigkeit des binomischen Lehrsatzes auch für die letztere Art 

 von Exponenten als erwiesen voraussetzen, so wird es uns ohne 

 Zweifel gestattet sein, nach diesem Lehrsatze sowohl die Zahlen 

 durch ihre Logarithmen, als auch umgekehrt diese durch jene in 

 Form unendlicher Potenzenreihen auszudrücken, wobei wir es der 

 algebraischen Analysis überlassen, die Convergenz dieser unendlichen 

 Entwickelungsreihen gelegentlich bei erläuternden Beispielen nachzu- 

 weisen. 



§. 32. Aus dem für den allgemeinen Logarithmus x einer Zahl z 

 aufgestellten Ausdrucke (§. 4, 4). 



gce 1 



x zz Logar. zz=.m . für lim a zz O 



finden wir mittels höchst leichter Umwandlungen 



V ' mJ 

 Denken wir uns die unendlich abnehmende Zahl a als den 

 Stammbruch eines unendlich wachsenden (ganzzahligen) Nenners w, 



nemlich a zz — also — zz n ; so dürfen wir die letztere Potenz nach 

 n a 



dem ursprünglichen binomischen Lehrsatze entwickeln und erhalten 

 zunächst 



__ .. . x . 1 — a x 2 (1 — a)(l — 2a) x z 

 Z ~~ ' "m" ~2r~'~m* ' 3l m* 



■ (1— «)(1— 2«)(1-3a) a; 4 

 "i 4! m 4 "^ "* 



folglich wenn wir gemäss Bedingung cc durch O ersetzen, 

 (1) z zz Numerus Logarithmi x 



zzl 



m ' 2! m 2 ' 3! m 3 ' 



als Entwickelungsreihe der Zahl z nach demjenigen Logarithmus x 

 derselben, dessen Modul rn ist. 



