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Von dieser Reihe mag nebenher angeführt werden, dass sie für 

 jeden Betrag von x convergirt d. h. eine bestimmte (endliche) Zahl 

 zur Summe gibt. 



§. 33. Dieselbe Reihe finden wir auch aus dem im §. 4, 1 für z 

 aufgestellten Ausdrucke 



X X 



wenn wir in ihm (nach §. 7, 2) c=z — einstellen und ihn dadurch in 



V ' mJ 



<m 



X 



a 



m 



x 

 umwandeln. Der hier erscheinende Potenzexponent — kann nun als 



positiv und ganz angesehen werden; denn einerseits betrachten wir a 

 als positiv (§. 2 u. 13), anderseits gehört zu z>l ein positiver Loga- 

 rithmus x; ferner lässt sich x jedenfalls als ein regelrechter Bruch 



— ansehen und für a der Stammbruch eines Nenners wählen, welcher 



2 



x 

 ein Vielfaches von q 1 namentlich = qr ist ; dann ist — zr pr in der 



(X 



That eine ganze positive Zahl und wir sind berechtigt, die letztere 

 Potenz nach dem ursprünglichen binomischen Lehrsatze zu entwickeln. 

 Hiedurch erhalten wir vorläufig 



- 1 _L_ x _±_ x ( x — a ) _j_ x(x— a)(x — 2a) , 

 Z — +"^" + " 2!m 2 ~~' 3Tm~ 3 •" *' 



und wenn wir a durch ihre Grenze ersetzen, so wie vorhin den 

 fraglichen Ausdruck 



(1) z s± Num. Logar. x 



§. 34. Werden die Logarithmen x der Zahlen z nicht durch 



den Modul m, sondern durch deren Grundzahl 6, die insbesondere 



für die briggischen == 10 ist, systemisirt, ist demnach zz=:b x und 



b \ 



x = logz; so haben wir (gem. §. 8, 1) m z= yy in der vorangehenden 



Reihe zu setzen und finden für den Logarithmand z oder für die all- 

 gemeine Exponentielle b x die Entwickelungsreihe 



/i\ i* i i iL i O*^) 2 i ( xlb ) 3 I 



(1) * = 6«=l-f a& + ^ji-+ h^-pH- ... 



Für natürliche Logarithmen ist m z= 1, b = e, Ibzzlezzl, mithin 





