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und nun dürfen wir, weil der absolute Exponent — bekanntlich einer 



ganzen Zahl gleich gedacht werden kann, die letztere Potenz nach 

 dem ursprünglichen binomischen Lehrsatze entwickeln. Hiernach finden 

 wir vorbereitend 

 i- . '.* , 1 — a 1 — a A — 2a . 1 — a.l — 2a. 1 — 3a, 



daher endlich, wenn wir anstatt der a ihre Grenze O einstellen, 

 wie vorhin 



1 + .1 + Í 



2! — 3! ^ 4! 



. 



±1 = l-f- i4-_-f- _-4- —--(-.. 



§. 36. Die oben (§. 34, 2, 3) ermittelten Entwickelungsreihen können 

 wir theils zur Bestätigung, theils zur genauen Begründung der von 

 uns im Früheren (§. 22 — 24) über näherungsweise Berechnung der 

 Logarithmen von Zahlen aufgestellten Lehren benützen. Setzen wir 

 nemlich zz:«*, so werden die daselbst vorkommenden Potenzen 



(1) z « = e «*=l + ax + ^ + ^ + ^+... 



CC 2 X 2 cc z x* , ct*x 4 



(2) z-« =e-°*=l-ax +^ ^- + 



2! 3! ' 4! ^'" 



folglich die dortigen Schranken des zu bestimmenden Logarithmus 



2! ' 3! ' 4! 



(4) x_ a = x — - + 



2! ' 3! 4! — ' ' 



und hiernach gemäss den Ausdrücken (4, und 5, §. 24) deren arith- 

 metisches und geometrisches Mittel 



(5) M a = x+^f + -^-+... 



cc 2 x^ cc 4 x^ 



(6) p ff = a , + _ F+ _ r +... 



§. 37. Logarithmische Reihen, welche nemlich zur Ent- 

 wicklung der natürlichen Logarithmen von Zahlen dienen, lassen 

 sich, wie leicht ersichtlich, nur für binomische Logarithmande von 

 der Form 1 ±y und auch da blos unter der Bedingung, dass y < 1 

 sei, ermitteln. Ersetzen wir nemlich in (§. 6, 1) die z durch l±y, 

 so haben wir 



