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q = eP z=l e 

 K' ist das vollständige elliptische Integral 1. Gattung für den 

 Modul k\ 



JcTt 



Substituiren wir in IL für u den Wert u-\ , setzen dann 



1 m 



für k die Werte 0, 1, 2 . . . , m — 1, so erhalten wir durch Summa- 

 tion aller so entstandenen Gleichungen folgende allgemeine Trans- 

 formationsgleichung: 



ZZz((u+^- + hilq), nlq) = (»— 1) mi + Zz(u + — , fy) , 



oder mit Rücksicht auf die Gleichung I. 



Z Z Zlu-\ 1- hilq, nlg q\ — m (n — 1) i-\-m Z (mu, mp) (III) 



Aus dieser Gleichung folgt dann für n — m folgende Thei- 

 lungsgleichung 



Z Z Z\u-\ 1- hilq, nlg q) zun (n — 1) i -f- n Z(nu, np). (IV) 



h k v n J 



Differentirt man die Gleichung III. nach u, so bekommt man 

 2 2 Z' \u-\ (- hilq, n lq\ zzzmZ' (mu, mp). 



Nun ist aber 



Z (u, p) = A (K 2 — EK) — (^—Y sin 2 am («, k) . 



Es ist also 



A. Lr 2 „. ^ _ ( &jff )» ^ am ^ _|_ i?L _j_ ^ &) J ; 



folglich 



(kK) 2 Z Z sin 2 am (u + — + hilq, k) = 



kit 

 h k \m 



m (K 2 — EK) — m 2 n {K m 2 - E m K m )-\~m 2 (k m K m ) 2 sin 2 am (u, k m ) ( V) 

 k m ist der Modul, der durch eine Transformation mter Ordnung aus 

 k entsteht, K m , E m sind die dem Modul k m entsprechenden Integrale. 

 Aus der Formel V. fliessen durch Specialisirung der Werte 

 (ra=l, wi = l) folgende von Jacob i angegebenen Formeln: 



kit 

 k v ■ m 



m (K 2 — EK) - m 2 {K m 2 - E m K m ) + m 2 (k m IQ 2 sin 2 am (u, k m ) (VI) ; 



(k K) 2 Z sin 2 am (u -f — , &) ■= 



