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(k m K m ) 2 2 sin 2 am ((u -\~hilq\ k m ) = 

 m (K m 2 — E m k m ) — K 2 + EK+(kK) 2 sin 2 am (« , Ä). (VII) 

 Diese Formeln sind desshalb beachtenswert, weil sie Quellen 

 verschiedener Transformationen höherer (mter Ordnung) sind. 

 Für uzzD entsteht aus V. 



(k K) 2 2 2 sin 2 am (— + hilq, k) z= 



m (K 2 — EK) — m 2 n (k m 2 — E m K m ). (VIII) 



Aus Formel VIII. folgt für m = 1, n=z3 



{K 2 -EK)-Z{K r 2 --E m K m ) = 2K m KV~kk m . 



2. Um die Transformations- und Multiplicationsgleichungen der 

 elliptischen Integrale 3. Gattung zu bekommen, bedienen wir uns 

 folgenden Satzes: 



n(u,a) = uZ(a) + l.l ®{"- a i . 



Setzen wir in dieser Gleichung für a den Wert a -| [- hilq 



und summiren alle Gleichungen (k zz 0, 1 . . . m — 1 ; h zz 0, 1, . . . n — 1), 

 so erhalten wir 



2ZIl(u,a + — + hüq,nlq) =u 2 2 (z(a-\~ — + hilq, nlqj) 

 1 ^ 7 & (( u -(- + ~ + hi k)),nl q ) 



2 „t C , f , Jen 



m 

 Nun ist aber nach III. 



± in. 



2 £ Zla-] 1- hilq, nlq \ ■=: m (n—\) i -\- m Z (ma, mp), 



m 

 ferner ist 



Z(a)= ^ a) also l®(a)=zC+fZ(a)da, 

 ča 



demnach 



2 2 l® (u — (a + — + ÄÄj), nZ 2 ) zz 



J* 2 2 Z lu — a -| -[- A%, n£<n da, 



oder nach einigen Reductionen 



(a) 2 2l®(u—(a-\- — -\-hilq), nlq) zz 



(n — 1) mia -\~ C-\- 1® (m (u — a), mlq). 



