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Schliesslich erhalten wir also folgende Trans for mations- 

 gleichungen der elliptischen Integrale 3. Gattung 



II (mu, ma, mp) z=. £ Ellyu, a~\ 1- hilq, nlq\ . (IX) 



Für m zun folgt die Gleichung, welche II (mu) durch H (u) 

 ausdrücken lehrt, nämlich 



II (mw, ma, mp) — 27 27 77 1 m, a-\ \- hilq, mlq\ . 



3. Benützen wir den Satz 



E 



Eam u -zz -~ u-\- Z (u), 



so erhalten wir auf dieselbe Art, wie früher nach einigen kleinen 

 Reductionen, folgenden Satz: 



S Z Eam \u -| (- hüq ) zz Eam (mu, mp) -{- C. (X) 



Aus den Formeln IX. und X. lassen sich mit grosser Leichtig- 

 keit verschiedene Summenformeln für elliptische Functionen ableiten. 



4. Setzen wir in VI. an Stelle von u die Werte u -f- -^- , 



u ^-, u -f- -o- č> j so erhalten wir nach einigen Reductionen 



folgende wichtige Relationen: 



m (K* — EK) = K 2 Z 



sin 2 amiu-\ , k ) 



V. ' m J 



+ m 2 (KJ - E m K m ) . i (m f' ) \, ; 



sin* am (mu, k m ) 



mEK+ (k'K) 2 E tg« am [u + — , k) = 



— : m 2 E m K m -f (m k' m K m ) 2 tg 2 am (mu, k m ) ; 



kit 



i 2 am \u-\ , k ) 



J 2 am (u + ~^-, k) 



sin 2 am (mu, k m ) 



(XI) 



sw 

 m (fc' 2 K 2 — EK) + fc 2 &' 2 K 2 2 V ' m - 



Durch Transformation in's Imaginäre würde man aus diesen 

 Formeln ähnliche Sätze für die imaginäre Periode der elliptischen 

 Functionen ableiten. 



Die Gleichungen XL scheinen besonders für Transformationen 

 höherer Ordnung wichtig zu sein. 



