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x= a +a l u + a 2 u 2 



c o + c i w + vH c j w3 



a Q u -f- a^u 1 -\- a 2 u* ^ ' 



V z c + c,«* + e 2 w ž + c 3 w 3 



Die Gleichung (6) gibt uns somit den Übergang von der Form (4) 

 auf die Form (7). Aus den Gleichungen (4) können wir unmittelbar 

 die Parameter der unendlich fernen Punkte berechnen, und erhalten 

 nebstbei auch die geometrische Deutung des Resultates. Für die 

 unendlich fernen Punkte gilt nämlich 



'31 C 32 O 



a n — A6 n , a l2 — A& 12 , a J3 — A& 13 

 a 2l A6 21 , a 22 — Ao 22 , a 23 — A6 23 



— A&„, O 



0. (8) 



31 #wl/ 31? M '32 /vl/ 32? 



Nun ist der gemeinschaftliche Nenner (8) von x, y die Discri- 

 minante des Kegelschnittsbüschels 



w 2 -\ r w l =z 0. 



Die Discriminante (8) verschwindet für diejenigen Werte von A, 

 für welche der Kegelschnitt des Büschels in ein Paar von Geraden 

 zerfällt. Da nun (8) in Bezug auf A vom dritten Grade ist, so er- 

 halten wir drei in zwei Gerade zerfallende Kegelschnitte des Büschels, 

 von denen je eine Gerade durch den Basispunkt hindurchgeht. Be- 

 zeichnen wir nun die übrigen Basispunkte des Kegelschnittsbüschels 

 w 2 -\-w Y — mit 1, 2, 3, so erhalten wir die Asymptotenrichtungen 

 der Krümmungscurve, als Senkrechte im Punkte zu den Verbin- 

 dungslinien ÖT, 02, 03. 



Bezeichnen wir mit A die Discriminante von u 2 + u Y zz 0, und 

 entsprechend mit A' die Discriminante von v 2 ~\- v t rz 0, dann mit 

 © und ©' die simultanen Invarianten des Kegelschnittsbüschels*) 

 w 2 ~f~ w i = 0, nämlich 



3© = b lt A n + b 22 A %% + 26 12 A J2 + 26, 3 A x 3 -f 26 23 ^ 23 



3©' = a lx B lx + a 22 B 22 + 2a 12 B i2 + 2a, 3 B 13 + 2a 23 £ 23 , 

 wo il Ä x, B hH Subdeterminanten der Elemente a m , b m in z/ resp. z/' 

 bedeutet, so können wir die Discriminante (8) schreiben 

 4>tf _ 3@'A2 + 301 — 4 — 0. 



Diese kubische Gleichung gibt uns drei Wurzeln A< ; i = 1, 2, 3 

 und die entsprechenden Asymptotenrichtungen der Krümmungscurve 

 erhalten wir aus Gl. (5), nämlich 



*) Salmon-Fiedler Kegelschnitte Leipzig. Í866, pag. 437. 



