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Grenzen in 



, „ u n -—. k 1 k 



km ^-r- zu — - = n 



u~i u — 1 m 



wie die Gleichung (3). 



c. Ist der Exponent n eine absolute irrationale Zahl,* so 

 halte ich folgende Untersuchung und Beweisführung für die gründ- 

 lichste. Zunächst kann ein Vielfaches einer Irrationalzahl nie eine 

 ganze Zahl werden, sondern es muss jedenfalls zwischen zwei, in 

 der natürlichen Zahlenreihe unmittelbar auf einander folgende An- 

 zahlen zu liegen kommen. Ist demnach m was immer für eine, 

 (kleinere oder grössere) absolute ganze Zahl, so ist das Vielfache 

 m . n niemals eine ganze Zahl, sondern immer zwischen gewissen zwei 

 eben solchen Zahlen k und k -f- 1 enthalten oder ein angemessenes 

 Mittel dieser beiden Schranken, was ich durch 



m.nz=. Med (&, k -\- 1) 

 für (m, & + 1) = 1, 2, 3, ... oo 



andeuten will. Hieraus folgt sofort 



M = Med(A *±i) 

 \m m J 



und ich sehe mich veranlasst uz=v m zu setzen, wodurch offenbar 



u n — v mn _- ^[ Q ^ ^ v *+l) 



wird. Wenn ich nun noch abkürzend für einen Augenblick den in 

 Untersuchung stehenden Differenzen- Quotienten von u n durch D.u n 

 bezeichne, so finde ich mittels einiger leicht verständlichen Umwand- 

 lungen 



D.u»z=- i = - f : - f- = Med (D . v\D. i>*+i) : D.v™. 



V m 1 V 1 V — 1 ' 



Stelle ich jetzt die gemeinsame Grenze Eins für u und v ein, so erhalte 

 ich, wie leicht ersichtlich 



lim D ,u n z=. Med (Um D . t>*, lim D . v** 1 } : lim D . v m 



daher gemäss Gleichung (3) 



lim un ~~\ = Med(/b, fc+ 1) : m = Med f— , *±i) = » 

 u=i w— 1 vii/ Im ' w / 



wie in Gleichung (3). 



d. Ist endlich der Exponent n irgend eine negative reelle 

 Zahl, nemlich w = - fc, so ist 



w w — 1 __ u~ k — 1 u k — 1 1 



u — ■ 1 t* — 1 u — 1 ■ " u k 



