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mithin 



«-i w — 1 ~~ 1 



ebenso wie in Gleichung (3). 



Aus dieser ganzen Untersuchung erhellt nun, dass die Grenz- 

 gleichung (3) für jede Zahlform und für jeden Werth des Exponenten 

 n gilt. 



n. 4. Derselben Grenzgleichung pflegt man eine andere höchst 

 vortheilhafte Gestalt dadurch zu verschaffen, dass man die Differenz 

 u — 1 = cc setzt, welche, wenn u ihrer Grenze 1 unendlich zustrebt, 

 zugleich an die Null als ihre Grenze unendlich sich anschmiegen 

 muss. Durch die Benützung dieser Umwandlung überführen wir die 

 Gleichung (3) in 



(4) hm - — ! — - au n. 



n. 5. Diese Grenzgleichung ist die Quelle anderer der Ana- 

 lysis sehr nützlichen Grenzgleichungen. Um ihre Umstaltungen, ohne 

 Verstoss gegen die vor versteckten Nullenrechnungen warnende Kritik, 

 ebenso leicht als begründet durchführen zu können, bedingen wir, 

 dass die positive oder negative Veränderliche cc jetzt von Null ver- 

 schieden sei, was wir durch a 2 X) andeuten wollen. Dann kann 

 der in Gleichung (4) stehende Quotient nicht gleich n sein, sondern 

 man wird die Ausgleichung beider Zahlen dadurch bewerkstelligen, 

 dass man die Zahl n mit einem ausgleichenden Factor # multiplicirt, 

 welchen man als eine unbestimmte Function von a und n anzusehen 

 hat, die lediglich an die Bedingung gebunden ist, dass sie bei jedem 

 Werthe von n für « = in 1 übergeht. Aus der auf diese Weise 

 sich ergebenden Gleichung 



a 



finden wir sofort an 



(5) (1-f «)*= i+^.wa 



eine zuweilen gut verwendbare Zwischengleichung. Indem wir noch 

 vereinfachend ftn . a = e setzen, führen wir eine neue veränderliche 

 Zahl e ein, welche obschon sie ein Product (Vielfaches) von a ist, 

 gleichwohl völlig willkürlich ist, weil & unbestimmt und n ganz 

 beliebig ist. Radiären wir nun die also vereinfachte letzte Gleichung 



nach n«z T) so erhalten wir 



(i+«)^"=a+ f )^-* 



