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Lassen wir nun wieder die Veränderliche « unendlich abnehmen 

 und schliesslich auf ihre Grenze überspringen, so wird die, wenn- 

 gleich ganz willkürliche &.naz=zs offenbar das Gleiche thun und & 

 ihrer Grenze 1 ohne Ende zustreben und zuletzt in diese übergehen. 

 Hier nun können wir vorerst in der letzteren Potenz den Exponenten 



# durch seine Grenze 1 ersetzen, wonach beide gleichgeformten 



i i 



Potenzen (1 -f- a ) a una * (1 + £ ) £ Schritt für Schritt einander desto 

 mehr gleichkommen werden, je kleiner die Zahlen cc und e bereits 

 geworden sind. Hieraus folgt nun mit Nothwendigkeit, dass diese 

 beiden Potenzen gegen eine und dieselbe Grenze hin streben müssen. 

 Diese Grenze pflegt man gegenwärtig allgemein mit e zu bezeichnen 

 und sonach haben wir für positive oder negative cc die wichtige 

 Grenzgleichung 



(6) Um (1 4- a) « = Um [ « =e. 



« = o VI — «/ 



Diese Zahl e kann offenbar keine allgemeine Zahl, sondern nur 

 eine besondere sein, weil die allgemeine Veränderliche a schliess- 

 lich durch ihre Grenze Null ersetzt wird. Auch leuchtet aus der 

 letzten Gleichung ein, dass die in ihr vorkommenden Potenzianden, 

 sobald der absolute Werth von a bereits kleiner als 1 geworden ist, 

 absolut (oder positiv) und grösser als Eins ausfallen, mithin die 

 Grenzzahl e entschieden gleichfalls absolut und > 1 sein muss. Die 

 Kenntniss dieser Eigenschaft der Zahl e genügt im Nachfolgenden 

 schon allein vollständig, weil dieselbe wegen dieser Eigenschaft zur 

 Grundzahl einer gewissen Art von Logarithmen geeignet ist. 



n. 6. Um aus der letzten Grenzgleichung mittels anstandsloser 



Umwandlungen noch andere vortheilhafte zu gewinnen, lassen wir 



wieder die Veränderliche a beliebige, von Null verschiedene 



J_ 

 Werthe annehmen und betrachten von der Potenz (1 + «) a blos 



ihren absoluten reellen Werth. Dabei erwägen wir, dass jegliche 

 absolute Zahl als Potenz einer jeden anderen, von 1 und O verschie- 

 denen, bestimmten, absoluten Zahl, nach einem gewissen positiven 

 oder negativen Exponenten dargestellt werden kann. Sonach lässt 

 sich auch für jene Potenz zu der, die 1 übersteigenden absoluten, 

 Zahl e ein von a abhängiger Exponent # denken, welcher e® jener 

 Potenz gleich macht; nur muss wegen der obigen Grenzgleichung 

 bedungen werden, dass # bei dem Verschwinden von a in 1 über- 

 gehe. In dieser so entstehenden Gleichung 



