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(7) (1 + «) « = & 



bringen wir beiderseits des Gleichheitszeichens an die Stelle von a 

 das Product a x, dessen Factor x eine willkürliche, positive oder 

 negative, reelle Zahl sein soll und welches offenbar mit « verschwindet 

 und damit zugleich den Exponenten # in 1 verwandelt. Die auf diese 



Weise sich ergebende Gleichung 



i 



(1 -{~ax)ux = z e& 



potenziren wir nun nach x und ziehen in Betracht, dass e* wegen 

 e>\ jeder beliebigen Zahl, z, dadurch gleich, nemlich 



(8) e* = 2 



werden kann, dass der positive oder negative Exponent x angemessen 

 gewählt wird. Dann ist gemäss dem Begriffe des Logarithmus der 

 Exponent x der auf die Grundzahl e sich beziehende Logarithmus 

 der Zahl z> was wir durch 



e 



(9) xzzlogz 



ausdrücken wollen. Sonach erhalten wir die folgenreiche Gleichung 



(10) (1 + « cc)«~ = («")* = ** 



***— 1 



und aus ihr ergibt sich sofort 



e 



x = logz zz 



daher, wenn wir durch Einführung der Grenze lim azzO dem unbe- 

 stimmten Exponenten #• den bestimmten Werth 1 verschaffen, finden 

 wir den logarithmischen Hauptausdruck 



(11) logz=z lim , 



«— o a 



Um den Logarithmen der Zahl z bezüglich einer beliebigen 

 anderen Grundzahl a auszudrücken, nehmen wir von der Gleichung 



z = e x (8) 



diese Art von Logarithmen und erhalten in Berücksichtigung der 

 Gleichung (9) sogleich den allgemeinsten logarithmischen Ausdruck 



(12) log zzzlog e . log z = log e . lim . 



a — o a 



Wählen wir in dieser Gleichung « = «, so finden wir die zwi- 

 schen den Logarithmen von e und a bestehende interessante Wech- 

 selbeziehung 



(13) log e .log a = 1 



