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zufolge deren diese beiden Logarithmen umgekehrte Werthe von 

 einander sind. 



n. 7. Unterziehen wir den Ausdruck (11) einer genauen Unter- 

 suchung, so muss uns besonders auffallen, dasš in dem den log z 



z<x — 1 

 ausdrückenden Quotienten keine Spur der Grundzahl e zu 



finden ist. Demzufolge hängt der von diesem Quotienten bestimmte 

 Logarithmus eigentlich ganz und gar nicht von einer logarithmischen 

 Grundzahl ab; sondern er ist mit der Zahl z als seinem Ursprünge 

 aufs innigste verbunden und gleichsam verwachsen ; aus ihr entspringt 

 er etwa so, wie aus dem Samenkorn die ihm eigenthümliche Pflanze. 



2# — 1 



In dem so auffällig gestalteten Quotienten , ja selbst 



in dem allgemeinsten (zca — V) \ka, auf den ein Algebraist wohl auch 

 zufällig bei einer ganz anderen Rechnung gerathen könnte, muss 

 noth wendig die ganze Natur des Logarithmus verborgen stecken, 

 und diese muss zu Tage treten, wenn er als eine besondere Function 

 von z angenommen und erforscht wird. Setzen wir nemlich 



z ca — 1 



so ist 



I) z cu z=l-^k «/(*). 

 Vertauschen wir z mit y, so wird 



y*«=l+kaf(y) 

 daher das Product beider Ausdrücke 



II) (yz) c « = l+Jcaf(y)+kaf(z) + k*a*f(y)f(z). 

 Ersetzen wir dagegen in I) die Veränderliche z durch das Product 

 yz, so erhalten wir gegentheilig 



IH) (yzy«=zl + kaf(yz) 



folglich gibt die Gleichstellung der Ausdrücke II) und III) ganz 

 leicht die Functionalgleichung 



IV) /ö^)=/öf)+/W + *«/(y)/W 



mithin besitzt diese Function f(z), allerdings nur für Uma=zO i 

 dieselbe Eigenschaft wie die Logarithmen überhaupt, nemlich dass 

 die Function des Productes zweier Zahlen der Summe der Functionen 

 eben dieser Zahlen gleicht. 



Schreiben wir ferner im Ausdrucke I) anstatt der Veränderli- 

 chen z ihre nach einem willkürlichen Exponenten n gebildete Potenz 

 2", so übergeht er in 



