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(z«) c "=z nca =l+kaf(z») 

 und andererseits gibt er nach n potenzirt ebenfalls 



z nca =[l+k «/(*)]« 



daher gemäss Gleichung (5) 



= l+&nkaf(z). 

 Die Gleichstellung und Zusammenziehung der zwei Ausdrücke 

 von z ncoc liefert schliesslich die Functionalgleichung 



V) /(*■) = *.»/(«) 



welche, wofern Um a = und daher die Um fr = 1 ist, darthut, dass 

 wie bei den Logarithmen die Function einer Potenz das Product 

 ihres Exponenten in die Function ihres Potentiandes ist. 



Die hier ausführlich erörterten Eigenschaften der nach Glchg. 



(11) berechenbaren Logarithmen haben den Analysten zureichende 

 Gründe dargeboten, um diese Logarithmen natürliche, dagegen 

 alle sonstigen Arten von Logarithmen künstliche zu nennen. Die 

 natürlichen pflegt man gegenwärtig allgemein blos durch Vorsetzung 



e 



des Buchstaben l zu bezeichnen, so dass die Andeutungen log z und 

 Iz einander gleichgeltend sind. Auch nennt man die Zahl e die Grund- 

 zahl der natürlichen Logarithmen und e x die natürliche 

 Exponentielle. Gemäss dem Ausdrucke (12) werden die auf 

 irgend eine Grundzahl a bezogenen Logarithmen berechnet, wenn 

 man die natürlichen Logarithmen der betreifenden Zahlen mit einem 

 beständigen durch diese Grundzahl a bestimmten Factor multiplicirt. 

 Dieser nun wird der Modul dieser Art von Logarithmen genannt 

 und wenn wir ihn mit M a bezeichnen, ist er zufolge der Gleichungen 



(12) und (13) 



(14) Mazzlogezz:-^ 



und von ihnen wird die erstere für die Veränderliche x 



x<* — 1 



(15) log x = M a . Um 



n. 8. Aus der obigen Gleichung (10) gewinnen wir durch Ein- 

 führung der gleichzeitig bestehenden Grenzen Um a = und Um & = 1 



sofort für die natürliche Exponentielle den geschlossenen Ausdruck 



i 



(16) e* ■= Um (i-f«a?)«. 



