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besondere Systeme von Kegelschnitten — als Curven zweiter Classe 

 betreifen. 



Die analogen Theoreme und Demonstrationen für die quadra- 

 tische Punktinvolution sind hier nicht berücksichtigt, da sie leicht 

 entweder unmittelbar oder aus dem Principe der Dualität abgeleitet 

 werden können. 



I. Das erste Theorem,*) welches den übrigen zu Grunde liegt, 

 lässt sich folgendermassen stylisiren: 



In einer quadratischen Strahleninvolution sind immer 

 zwei solche Paare JP^, -B^ vorhanden, welche die Eigen- 

 schaft besitzen, dass die zugehörigen sich entsprechenden 

 Elemente einen gegebenen Winkel co einschliessen, so dass 

 also 



Der Beweis dieses für die weiteren Untersuchungen wichtigen 

 Lehrsatzes folgt aus der Gleichung (1), wenn man in dieselbe 



^OX^ÖX^X^, 

 substituirt, wodurch sie in eine neue übergeht, nämlich: 



ig 61,. ftO*.+tt*A _y , ... (2) 



1 — tg OX x . tg X X X 2 

 Setzen wir also voraus, dass 



<£&=* (3) 



und führen wir die Substitution 



tgX 1 TL i =:tgo = 2K (3a) 



ein, so wird der Gleichung (2) zufolge: 



tg ÖX X = — A(l + fc 2 ) ± VJP(i + & 2 ) 2 + k 2 . (3/3) 

 Dieses Resultat gibt also wirklich zwei Paare P X P 2 , ^i? 2 , die 

 der Bedingung (3) Genüge leisten, und zwar: 



7/. 2 



_ k 



tg OP 2 = 



tgOP l 



tg OR L z= — A(l + k*) — V A 2 (l + Ä 2 ) 2 + k' 



k z 

 tg OR 2 = — ™- 

 * 2 tg OE x 



. . (4«) 



1. Paar 

 . . (Aß) 

 . . (5a) 



2. Paar 

 . . (5/3) 



Nimmt man die Relationen (4a) und (5a) zu Hülfe, so lassen 

 sich noch folgende Gleichungen ableiten: 



*) Ein analoges Theorem führt Fiedler in seiner „descriptiven Geometrie" 

 pag. 15 an. 



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