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welche in der neueren Geometrie von solchen involutorischen Reihen 

 auf den Kegelschnitten angeführt werden. (Fig. 1.) — 



Will man den Ergänzungs-Kegelschnitt als eine Curve zweiter 

 Ordnung definiren, so kann man ihn betrachten als geometrischen Ort 



derjenigen Punkte p % p\ p" , in deren Involutionen (£), (£),, (t\ 



die Paare P X P % — B& ; P X 'P 2 ' — #/£/; P V "P 2 " - R V "R 2 " 



zusammenfallen. Für diese Involutionen ist aber nach der Gl. (10) 

 & 2 <0; folglich sind die sich-selbst-entsprechenden Elemente — die 



durch die Tangenten von p, / p" zu K bestimmt werden — 



imaginär, d. h. die Punkte p liegen innerhalb des Kegelschnittes K. 

 Demnach fällt auch der Ergänzungs-Kcgclschnitt (Ä*) w in 

 das Innere von K. 



Den vorigen Lehrsatz kann man auch dann vortheilhaft benützen, 

 wenn man den Punkt t in's Unendliche verschiebt; wir bezeichnen 

 ihn in diesem Falle mit t^. Die Construction der Curve (Q« ist 

 freilich nur dann möglich, wenn die Curve C eine Hyperbel oder 

 Parabel ist. Es möge hier die Analysis dieses speciellen Falles für 

 die Hyperbel durchgeführt werden, die wir dann leicht auf die Parabel 

 übertragen können. (Fig. 2). 



Da die Schenkel Q >1 2 des Winkels o in diesem Falle erst in 

 t^ zusammenlaufen und daher zur Asymptote A L des Punktes *<*> 

 parallel sind, so ist hier die Drehung des Winkels m (— 0) identisch 

 mit einer solchen Verschiebung der zur Asymptote A t parallelen 

 Geraden Q L Q 2 , dass ihre Richtung und gegenseitige Distanz d unver- 

 ändert bleiben. Verschieben wir nun diese Geraden in der angege- 

 benen Weise bis in die unendliche Weite, so ist unmittelbar klar, 

 dass für diese Lage im Unendlichen die Verbindungslinie ihrer Durch- 

 schnittspunkte mit der Hyperbel C in die zweite Asymptote A 2 fällt ; 

 nebendem liegt ihr Durchschnittspunkt mit der unendlich nahen 

 Tangente — welcher ein Punkt des gesuchten Ergänzungs-Kegel- 

 schnittes sein wird, — ebenfals im Unendlichen. Der Ergänzungs- 

 Kegelschnitt hat also in diesem Falle einen reellen Punkt im Unend- 

 lichen mit der im Endlichen liegenden Asymptote ^4 2 , woraus folgt, 

 dass derselbe ebenfalls eine Hyperbel ist. Damit ist folgender Satz 

 bewiesen : 



Bewegen sich zwei zu einer der beiden Asymptoten 

 A t A 2 der gegebenen Hyperbel C parallele Gerade so, dass 

 ihre Richtung und gegenseitige Distanz unverändert bleiben, 

 so umhüllen die Geraden, welche ihre Durchschnittspunkte 

 mit C bei jeder Lage verbinden, wieder eine Hyperbel H 



