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Multiplicirt man die Gleichungen (19) und substituirt man für 

 die dort vorkommenden Winkel ihre Werthe (20), so resultirt die 

 Gleichung 



Pl b . p 2 b . q Y c . q 2 c . r Y a t r 2 a _ ^ 

 p x c . p 2 c . q x a . q 2 a . r x b . r 2 b " r 

 Dies ist aber für das Dreieck a, b, c die bekannte Chasles'sche 

 Relation, welche folgendes Theorem bestätigt: 



Construiren wir in einem der vier Ecke eines voll- 



ständigen Viereckes a, b, c 9 1 z. B. in t die Winkel \ Q { Q 2 



I Jr^-Bj 

 in der Weise, dass ihre Schenkel mit den in t zusammen- 



lta\ 

 laufenden Seiten resp. I tb \ einen bestimmten Winkel & 



\tc\ 

 bilden, so schneiden diese Schenkel die gegenüberliegenden 



(&c \PiPi\ 



Seiten \ ac zusammen in sechs Punkten, \ q x q 2 1 , welche 

 ( ab \ r x r 2 J 



auf demselben Kegelschnitte H liegen, oder, was für die 

 Construction bequemer ist, die Durchschnitte der Geraden 



P1P2 , W 



2' 1 



0102, ^Pl 



liegen auf derselben (PascaFschen) Geraden. 



Für den Fall, dass o = -^ , ist : 



und es ergibt sich für diesen Werth ra aus den Gl. (19) und (20) 



p x b . q x c . r x a tb . tc . ta cos a cos (et — ß) — cos ß , 1 



p Y c . q x a . r x b tc . ta . tb ' cos ß ' cos a ' — cos {a — ß) ~~ 

 diess ist aber für das Dreieck abc geltende Menelaos'sche Rela- 

 tion, welche den vorigen Lehrsatz auf's Neue bestätigt. 



Zusatz. Benützt man das Theorem von dem geometrischen 

 Orte S der Punkte a auf die Kreise, welche durch dieselben zwei 

 Punkte gehen, so bekommt man den bekannten Satz, dass die Mittel- 

 punkte solcher Kreise auf einer Geraden liegen. — 



Die weitere Aufgabe, die wir für die nachfolgenden Unter- 

 suchungen brauchen werden, ist folgende: 



