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 Diese Gleichung muss für jeden Werth co also auch für o = 0, 



Tt 



co == -o- gelten. Es sind aber nach der t. Anmerkung des Abs. II 



für diese Werthe die Ergänzungs-Kegelschnitte resp. 



V 2 + i 2 — 2r| = 

 ^ = 0, | = r, 

 was nur dann möglich ist, wenn in (29) Cz=:0. 

 Der gesuchte Kegelschnitt ist also 



rj 2 -\- (r — £) 2 — r 2 cos 2 co zn ; 

 es ist diess ein Kreis vom Halbmesser rcosco, wie wir schon im 

 Absatz II gefunden haben. — Die letzte Gleichung ist zugleich das 

 singulare Integral der Gleichung (28). 



34. 

 Beitrag zur Theorie der congruenten Zahlen. 



Vorgetragen am 22. November 1878 von Prof. Dr. S. Günther. 



Mit dem Namen congruenter Zahlen bezeichnet man nach 

 Woepcke's Vorgang 1 ) solche ganze Zahlen a, durch welche eine ra- 

 tionale Lösung der beiden simultanen Gleichungen 



x 2 -\-a=z y 2 , 



x 2 — a — z 2 

 zu erzielen möglich ist. Mit dieser Aufgabe, wenn auch allerdings 

 in etwas veränderter Form, hat sich nach E. Lucas' Angabe bereits 

 Diophant beschäftigt; 2 ) die Araber, insbesondere Beha-eddin 3 ), und 

 der von arabischen Vorbildern wesentlich beeinflusste Fibonacci haben 

 ebenfalls Beiträge zur Lösung des, theilweise sogar noch wesentlich 

 verallgemeinerten, Systemes geliefert. An eine allgemeine Methode 

 war jedoch damals natürlich noch nicht zu denken, wie man denn 

 sogar noch keineswegs den Unterschied zwischen congruenten und 

 nicht-congruenten Zahlen kannte, sondern, wie es z. B. von dem oben 

 genannten arabischen Mathematiker in besonders drastischer Weise 

 geschieht, 4 ) mit jeder willkürlichen Zahl a die oben gekennzeichneten 

 Bedingungen verträglich glaubte. Es ist hauptsächlich das Verdienst 

 Genocchi's, 5 ) den Nachweis der Unmöglichkeit einer Auflösung für 

 gewisse Zahlformen thatsächlich geführt zu haben. E. Lucas, der sich 



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