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der Parabel auf dieselbe drei Normalen gefällt werden können. 

 Zwischen den Ordinaten der drei Fusspunkte bestehen nachstehende 

 Relationen : 



(y). = 2p(p-D, (4) 



(y)z=2p 2 ri, 

 wo wie gewöhnlich (y) h die Summe der Combinationen h ter Ordnung 

 der Elemente y bezeichnet. 



Die erste Relation (y\-=:0 ist von der Lage des Punktes (|^) 

 unabhängig und gibt uns die Bedingungsgleichung, unter welcher die 

 Normalen dreier Punkte P t (xiyi) der Parabel durch einen Punkt 

 P (|i?) hindurchgehen. Wir wollen solche drei Punkte P ? der Pa- 

 rabel als dem Punkte (Šrj) zugeordnetes Fusspunkttripel be- 

 zeichnen. 



Aus der ersten und dritten Gleichung von (4) erkennen wir, 

 dass nur ein Normalenfusspunkt mit dem Punkte (|i?) auf derselben 

 Seite der Axe der Parabel liegt, und die zwei übrigen demnach auf 

 der entgegengesetzten Seite. 



Ferner folgt aus den Gleichungen (4), dass, wenn der Punkt 



(£17) auf der X—axe (Axe der Parabel) liegt, eine Normale immer 



durch den Scheitel der Parabel hindurchgeht, und die übrigen zwei 



symmetrisch zur X— axe liegen. Es wird nämlich in diesem Falle 



eine Wurzel von (3) gleich Null, die übrigen zwei sind dem absoluten 



Werte nach zwar gleich aber vom verschiedenen Vorzeichen und für 



(y) 2 z= 2p (p — |) erhalten wir in diesem Falle mit Rücksicht auf 



Gl. (1) 



aj = |— p. 



Die zur X—axe symmetrisch liegenden Fusspunkte 2 ) sind dem- 



2 ) Dies erhellt auch aus der Ch a s 1 e s-schen Construction 1. c. pg. 144. Es ist 

 nämlich der Ort der Schnittpunkte der vom Punkte P auf die Tangenten 

 der Parabel gefällten Senkrechten mit den Durchmessern, welche durch die 

 Berührungspunkte hindurchgehen, eine gleichseitige Hyperbel, welche durch 

 den Punkt P und den unendlich fernen Punkt der Parabel hindurchgeht. 

 Diese Hyperbel schneidet die Parabel ausser im ihren unendlich fernen 

 Punkte in weiteren drei Punkten, welche die verlangten Fusspunkte der 

 Normalen des Punktes P sind. Liegt der Punkt auf der X-axe, so reducirt 

 sich die Hyperbel auf ihre Asymptoten, von denen eine die Axe der Pa- 

 rabel ist, und die andere eine zu ihr senkrechte Gerade ist, was mit der 

 oben gegebenen Untersuchung übereinstimmt. Die Gleichung der erwähnten 

 Hyperbel ist 



p (y — v) -f- y O» — V = °- 

 Im Nachfolgenden führen wir eine einfachere Construktion an. 



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