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den sich bekanntlich in einem Punkte 3 ) H (| x i^), als dessen Coordinaten 

 sich ergeben 



v 



^i = — 5- 



(13) 



Flächeninhalt des Tripeldreieekes. 



5. Die Fläche eines Dreieckes P x P 2 P Z ist bekanntlich gegeben 

 durch 



2A = \xyl\. 



Genügen die (xtyi) der Gleichung der Parabel, so ist das Drei- 

 eck A der Parabel eingeschrieben, und wir erhalten in diesem Falle 



2J = £- 



2p 



2px, y, 1 



\_X_ 



2p 



y*#A 



(14) 



Bilden die Ecken des Dreieckes ein Tripel der Normalen Fuss- 

 punkte eines Punktes (|??), so müssen die yi (t = l,2,3) den Rela- 

 tionen (4) genügen. Um nun diese Bedingungen in die Gleichung 

 (14) einführen zu können, erheben wir dieselbe zum Quadrat, womit 

 wir erhalten: 



(y\Áy\Áy\ 

 (y\Áy\ , 3 



16p 2 A 2 =z 



Nun ist 



somit 



(y)i=o 



(y\ = (y)\-2(y) 2 



2{y\ 



(y\ = (y)\ 



(y\ = (y)\ 



3(2/)x(2/) 2 + 3(y) 3 =3(y\ 



My)\(y)z+2(y)\ = 2( y y 



und der Ausdruck für J 1 geht mit Rücksicht auf diese Werte über in 



16 p 2 A 2 = 



2(y)\ S(y) 3 -2(y\ 



3(3/) 3 -2(2/) 2 



-2{y\ 3 



Führen wir nun die Werte für (y) 2 und (y\ aus GL (4) ein, 

 und unterdrücken den gemeinschaftlichen Faktor 4jp 2 , so erhalten 



= -4(y)\-27(y) 



3 ) Alle einem Dreiecke umgeschriebenen gleichseitigen Hyperbeln gehen be- 

 kanntlich durch den Höhendurchschnitt des Dreieckes; es müssen somit 

 die Coordinaten des Punktes H der in Art. l. Anm. erwähnten Gleichung 

 der Hyperbel gentigen, wovon wir uns leicht durch Einsetzung der Werte 

 ^ r\ x für xy überzeigen können. Übrigens erhellt diess aus der reciproken 

 Beziehung zum Satze Ende Art. 6. Vergleiche Salmon-Fiedler Kegel- 

 schnitte pag. 531. 



