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wir schliesslich für das Quadrat der doppelten Fläche des Tripel- 

 dreieckes 



4^ 2 = 8p(i — p) 3 — 21p 2 rj 2 . (15) 



Setzen wir nun 



4z/ 2 a 



=3 C 3 , 



P 



so erhalten wir den Satz: 



Der Ort der Punkte vom constanten Tripeldreiecke ist eine 

 Curve dritter Ordnung 



8(1— P) 3 — 27pi? 2 = c 3 (16) 



welche die Evolute der Parabel als ihren specielen Fall einschliesst 

 für c = 0, d. h. wenn der Flächeninhalt der Tripeldreieckes gleich 

 Null ist (Gl. 7). 



Aus der Gleichung (15) erkennen wir weiter, dass die Evolute 

 der Parabel die Ebene der Parabel in zwei Theile theilt von der 

 Eigenschaft, dass den Punkten innerhalb der Evolute reelles Tripel- 

 dreieck entspricht d. h. die drei Normalen solcher Punkte sind reell, 

 während den Punkten ausserhalb der Evolute imaginäres Tripeldrei- 

 eck entspricht, d. h. zwei der drei Normalen solcher Punkte sind 

 imaginär. Die Punkte der Evolute bilden der Gränzfall, der Flächen- 

 inhalt der Tripeldreiecke solcher Punkte ist gleich Null, d. h. zwei 

 der Normalen fallen zusammen. 4 ) 



Tangentendreieck des Fusspunktstripels. 



6. Fassen wir den Fusspunktstripel als Berührungspunkte eines 

 der Parabel eingeschriebenen Dreieckes Z>, so ist bekanntlich: 



2D=4 

 nämlich die Fläche eines Tangenten dreieckes der Parabel ist die Hälfte 

 des Dreieckes der Berührungspunkte. 



Ganz analoges Resultat ergab sich Legendre für die Ellipse [Traité des 

 fonct. ellipt. T. I. pg. 348.] indem er untersucht, wie viele von den Durch- 

 schnitten der Hyperbel und Ellipse reell bleiben ; für Punkte innerhalb der 

 Evolute der Ellipse gibt es vier reele Normalen, für Punkte ausserhalb der 

 Evolute sind zwei Normalen reell, zwei imaginär. Für Punkte der Evolute 

 erhalten wir drei reelle Normalen. Anschaulich erweist dasselbe Resultat 

 Joachimsthal in seinem Aufsatze: „Über die Normalen der Ellipse und 

 des Ellipsoids" Crelle „Journal" Bd. 26, pg. 175, indem er den Weg ver- 

 folgt, den Durchschnittspunkt einer beweglichen Normale mit einer festen 

 auf dieser nimmt. 



